Approximation affine et méthode d'Euler
Entre 2001 et 2009, l'approximation affine faisait partie du programme de première S. Bien sûr, le nombre dérivé est toujours enseigné mais pas avec l'éclairage présenté ici qui prépare aux développements limités et aux différentielles, vus quant à eux après le bac.
L'opération consiste à remplacer l'expression d'une fonction au voisinage d’un point par celle d'une fonction affine. Sur un intervalle significatif, on utilise la méthode d’Euler qui repose sur une succession d’approximations.
Approximation affine locale
Soit une fonction \(f\) dérivable en un réel. Il existe alors des approximations affines plus ou moins bonnes de la courbe représentative de la fonction à cet endroit-ci. La meilleure est bien sûr celle dont la droite s’écarte moins que les autres de la courbe. Il s’agit ni plus ni moins de la tangente en ce point.
En effet, la fonction en question peut être localement décomposée en deux parties (ce n’est pas toujours évident algébriquement mais sur une représentation graphique c’est assez intuitif), une partie affine et une autre qui ne l’est pas et que l’on appellera \(R(x).\) \(a\) étant proche de \(x_0,\) on obtient \(f(x_0)\) \(=\) \(f(a) + f’(a)(x_0 - a) + R(x).\) C’est un développement limité d’ordre 1. La fonction \(R\) qui n’est pas affine représente un « reste ». Graphiquement, c’est l’écart qui s’agrandit progressivement entre la courbe et son approximation rectiligne de part et d’autre du point qui nous intéresse. Plus l’intervalle observé autour du point est petit, plus ce reste est négligeable. Et si on le néglige, il ne subsiste que l’équation de la tangente qui est évidemment l'expression d'une fonction affine (la plupart du temps).
Approximation par la méthode d’Euler
Si l’on juxtapose des approximations affines à intervalles réguliers, la représentation graphique obtenue n’est plus une courbe mais une suite de segments. Cette version cubiste est une approximation de la vraie courbe, par la méthode dite d’Euler, méthode intéressante si l’on connaît UNE valeur prise par une fonction ainsi que l’expression de sa dérivée mais pas celle de la fonction elle-même (on ne peut pas déterminer de primitive). Elle est utilisée dans le cadre des équations différentielles.
Le principe est détaillé en bas de page (exemple 4). On obtient des valeurs approchées de la fonction par récurrence.
Exemple 1
Un exercice classique consiste à trouver sans calculatrice une valeur approchée d’une fonction au voisinage d’un entier.
Donc, quelle serait une valeur approximative de \(\frac{1}{1,003^2}\) ?
Soit \(f(x) = \frac{1}{x^2}.\) On considère que l’on se situe au voisinage de 1 (c’est le \(a\) de la formule).
Donc \(f(1,003) \approx f(1) + f’(1) \times 0,003.\)
Le calcul de \(f(1)\) conduit, après quelques nanosecondes de réflexion, à 1. La dérivée de la fonction s'écrit \(f’(x) = -\frac{2}{x^3}\) et donc \(f’(1) = -2.\) Ainsi, \(1 - 2 \times 0,003\) \(= 0,994.\)
Une calculatrice donne 0,994027…
Exemple 2
Soit \(h\) un réel très petit. Déterminer la meilleure approximation affine de \((h + 3)^3.\)
Nous sommes en présence d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3\) dont la dérivée est \(f’(x) = 3x^2.\)
Pour \(x = 3,\) \(f(x) = 27 \) et \(f’(x) = 27.\)
Comme \(f(3 + h) \approx f(3) + f’(3)h,\) nous avons \((3 + h)^3\) \(\approx 27 + 27h.\)
Exemple 3
Soit une fonction de coût total définie par \(CT(x)\) \(=\) \(x^3 - 2x^2 + 10x + 150\) (exemple étudié en page de coût marginal). \(x\) représente un nombre de tonnes. On sait que la production doit se situer entre 6,5 et 7,5 tonnes.
Une réunion doit se tenir entre les responsables de la production, du contrôle de gestion et du marketing. Comme il est rare que des responsables se cassent la tête avec des fonctions polynomiales et qu’il faut faciliter discussions et calculs qui ne manqueront pas d’appuyer les arguments des uns et des autres, il est demandé au chargé d’études présent à la réunion de donner un moyen plus simple d’estimer le coût. Et dire que le malheureux n’est même pas équipé d’une calculatrice…
Il va d’abord établir le coût de revient de sept tonnes puis trouver une approximation affine.
\(CT(7) = 465.\) Dérivée \(CT’(x)\) \(=\) \(3x^2 - 4x + 10.\) Donc \(CT’(7) = 129\) unités monétaires.
Détermination de la tangente : \(y\) \(=\) \(CT(7) + CT’(7)(x - 7).\) Soit \(y\) \(=\) \(465 + 129(x - 7)\) et donc \(y\) \(=\) \(129x - 438.\)
C’est l’approximation affine : on multiplie le nombre de tonnes par 129 puis on retire 438 pour obtenir le coût total.
Comme on gagne en simplicité ce que l’on perd en précision, le contrôleur de gestion souhaite savoir quelle erreur risque, au pire, d’être commise.
\(CT(6,5) = 405,13\) et \(CT(7,5) = 534,38.\) Avec l’approximation affine, on obtient 400,5 unités monétaires pour 6,5 tonnes et 529,5 pour 7,5 tonnes. Certes, dans cet exemple, l’écart n’est pas négligeable mais l’intervalle de production déborde significativement autour des 7 tonnes…
Exemple 4 (méthode d’Euler)
Soit une mystérieuse fonction \(f\) dont nous savons que \(f(1) = 1\) et que la dérivée s'écrit \(f’(x) = -\frac{1}{x^2}\) (oui, nous savons tous que cette fameuse fonction secrète est en fait la fonction inverse ! Mais faisons comme si…).
Cherchons \(f(2).\) Peut-on en déterminer une approximation avec un pas de 0,1 ? Et avec un pas de 0,01 ?
Le problème est facile à résoudre avec un tableur. La photo ci-dessous montre les résultats obtenus mais aussi la formule de récurrence, copiée sur toute la colonne B.
On approche \(f(2)\) par 0,536 alors que l’inverse de 2 est en réalité 0,5. C’est certes assez proche mais ça reste grossier. Une approximation par un pas dix fois plus fin permet-il d’arriver à un meilleur résultat ?
Effectivement, l’approximation est bien meilleure !
