Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le domaine de définition

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Ensemble de définition d'une fonction

Lorsqu’on étudie une fonction numérique, la détermination de l'ensemble de définition est un élément incontournable. C’est même par là qu’ une étude de fonction débute.

Note préalable : si vous êtes élève de seconde ou de première, voir plutôt la page notions sur les fonctions.

De quoi s’agit-il ? De l’ensemble X des valeurs qui admettent une image sur un ensemble numérique donné. À ne pas confondre avec le domaine des valeurs Y qui est l'ensemble des images admises par la fonction.

Cet ensemble peut être restreint par des impossibilités mathématiques ou par d’autres contraintes. Il est évident que si un service du marketing calcule le coût d’un produit en fonction de quantités (fonction de coût), ces dernières ne peuvent être négatives. Elles ne sont pas non plus infinies. Le domaine de définition est donc limité aux quantités qu’il est techniquement possible de produire.

Dans une problématique de mathématiques « pures », ce sont des impossibilités mathématiques qui restreignent le domaine de définition, donc le domaine d’étude de la fonction. C’est aux bornes de celui-ci que l’on étudie les limites. Si la fonction est une suite, cet ensemble est celui des entiers naturels, éventuellement privé de zéro. Une valeur qui ne peut avoir d'image par la fonction est appelée valeur interdite.

Je vous propose de passer en revue les trois restrictions les plus courantes puis de vous amuser (si, si, de vous amuser) sur quelques exercices. Le moins facile est de niveau terminale ES ou terminale S.

Le dénominateur

Un dénominateur nul, c’est la pire aberration qui puisse exister. Vous avez le droit de traverser le Sahara en catamaran, d’enseigner le test de Mann-Whitney à un élevage de vers de farine ou pire, de croire aux promesses d’un homme politique mais diviser par zéro, ça non, jamais ! Un dénominateur nul signifierait que zéro multiplié par quelque chose est tout de même égal à quelque chose et donc que zéro ne serait plus lui-même. Ce sont toutes les mathématiques qui s’effondreraient…

NB : dans le calcul de limite d’une fonction rationnelle, on aura des limites à gauche et à droite d'un réel. En d’autres termes, la fonction inverse f(x) = (1 / x) n’est pas définie en zéro mais elle l’est à gauche (ou 0-) et à droite (0+), c’est-à-dire sur deux zones infiniment proches de zéro. Graphiquement, il existe une asymptote verticale d’équation x = 0.

La racine carrée

Dans la mesure où une puissance paire est toujours positive, la racine carrée (ou quatrième, ou sixième…) d’un nombre négatif n’existe pas. La racine de zéro existe (c’est 0) mais la racine paire d’un nombre négatif ne trouve sa place que dans l’ensemble des nombres complexes.

Le logarithme

Qu’il soit népérien ou non, le logarithme d’un nombre négatif n’existe pas. C’est ainsi. Et cette fois-ci, même le nul est interdit.

Exercices (fonctions d'une seule variable)

Déterminer les ensembles de définition sur R.

Exercice 1

Df

Exercice 2

Dg

Exercice 3

Dh

Exercice 4

Dk

Exercice 5

Dl

Exercice 6 : m(x) = ln (1 – ex)

Éléments de correction

Exercice 1

Si x prend la valeur 4, on obtient 0 au dénominateur. Donc Df = R – {4}.

Exercice 2

Cet exercice consiste à chercher les racines du trinôme qui se trouve au dénominateur. Δ = 6² – (4 × 9) = 0. Une seule racine : 3. Par conséquent, Dg = R – {3}.

Exercice 3

On étudie le signe du trinôme qui se trouve sous le radical. Encore une fois, on ne trouve qu’une seule racine qui est cette fois-ci 5. Le signe du trinôme est donc le même que celui du coefficient qui multiplie le carré du trinôme (1, en l’occurrence ; donc un nombre positif). Comme l’expression sous radical est soit positive, soit nulle, h(x) existe quel que soit x. Dh = R.

Exercice 4

Il existe deux contraintes. L’expression sous radical ne peut être négative et le dénominateur ne peut être nul. Les racines du trinôme sont -2 et 2. Entre ces deux bornes, l’expression ( – 4) est négative. Donc on ne peut ni admettre ces bornes, ni ce qui se situe entre elles. Dk = ]-∞ ; -2[ ∪ ]2 ; +∞[.

Exercice 5

Les deux contraintes sont indépendantes. L’expression (x + 1) ne peut être négative et (x – 10) ne peut être nulle. Donc, Dl = [-1 ; 10[ ∪ ]10 ; +∞[. Pour information, un zoom sur la courbe représentative tracée par GeoGebra :

Dl

Exercice 6

L’exponentielle doit être strictement inférieure à 1 pour que le logarithme soit défini. Et pour cela, x se résigne à être strictement négatif. Dm = R-*.

 

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