Étude de la dérivée de \(g(x) = f(ax + b)\)
Dans le programme de maths de première générale, il est fait état des dérivées de certaines fonctions composées. Concrètement, vous détectez une fonction affine dans l'expression d'une fonction.
Le principe
Ainsi sont étudiées des fonctions qui sont par exemple la racine carrée ou la puissance d’autres fonctions, dont l’expression algébrique est \(g(x) = f(ax + b)\) avec \(a\) et \(b\) réels. Soit \(g'\) la dérivée de \(g.\) Alors \(g'(x) = af'(ax + b).\)
Comme de bien entendu, l’étude d’une fonction quelle qu’elle soit commence par la délimitation de son ensemble de définition, mais aussi de dérivabilité. En l’occurrence, si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I,\) alors \(g\) doit l’être sur un intervalle \(J\) de sorte que \(ax + b\) appartienne bien à \(I.\)
Démonstration
Le point de départ est la définition du nombre dérivé.
Rappel. Soit une fonction \(g\) et soit \(h\) l’écart entre \(x\) et une valeur \(x_0.\) Le taux de variation s’écrit ainsi :
\[\frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h}\]
Le nombre dérivé \(g’(x_0)\) est le nombre obtenu lorsque \(h\) est infiniment petit. C’est donc la limite du taux de variation lorsque \(h\) tend vers 0.
En d'autres termes, nous cherchons une expression de \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g({x_0} + h) - g({x_0})}}{h}\)
En l’occurrence, nous pouvons réécrire ce taux mais cette fois en fonction de \(f.\)
\(\frac{f(a(x_0 + h) + b) - f(ax_0 + b)}{h}\) et, si l'on développe, \(\frac{f(ax_0 + ah + b) - f(ax_0 + b)}{h}\)
Il va être commode de procéder à deux changements de variables. Soit \(H = ah\) et soit \(X_0 = ax_0 + b.\) Notre expression devient :
\[\frac{f(X_0 + H) - f(X_0)}{\frac{H}{a}}\]
Donc \(a \times \frac{f(X_0 + H) - f(X_0)}{H}\)
Lorsque \(h\) tend vers 0, il est évident que \(H\) tend aussi vers 0 et par définition, \(\mathop {\lim }\limits_{H \to 0} \frac{{f({X_0} + H) - f({X_0})}}{H}\) \(= f'(X_0)\)
Donc \(\mathop {\lim }\limits_{H \to 0} a \times \frac{{f({X_0} + H) - f({X_0})}}{H}\) \(= af'(X_0)\)
Pour revenir à notre écriture de départ, en rappelant que \(f'(X_0) = f'(ax_0 + b)\) :
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g({x_0} + h) - g({x_0})}}{h}\) \(= af'(x_0 + b)\)
Exemple
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R} \backslash \{2\}\) par \(g(x) = \frac{1}{3x - 6}.\) Quelle est sa dérivée \(g'\) ?
Ici, \(f\) est la fonction inverse dont la dérivée est \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} \).
Donc \(g'(x) = 3 \times -\frac{1}{(3x - 6)^2}\), donc \(g'(x) = - \frac{3}{(3x - 6)^2}\)
Généralisation
D’une manière générale, sous les conditions de dérivabilité, une fonction \(g\) définie par \(g(x) = f(u(x))\) a pour dérivée \(g’(x) = u’(x) × f’(u(x)).\) Voir les tableaux de la page d'opérations sur les dérivées.
Bien que très simple et bien pratique, cette généralisation n'est pas au programme de première.
Exercice
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]-\infty\,;0,5]\) par \(f(x) = \sqrt{-2x + 1}\). Donner l'expression de sa dérivée \(f'\).
Corrigé
Ici, \(a = -2\) et la dérivée de \(\frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
L'ensemble de dérivabilité est \(]-\infty\,;0,5[.\)
D'où \(f'(x) = -2 \times \frac{1}{2\sqrt{-2x+1}}\)
\(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{-2x+1}}\)
Voir aussi la page sur les dérivées de fonctions de référence et composées.
