Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La dérivée d'une fonction d'expression g(x) = f(ax + b)

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Démonstration et exercice sur la dérivée de g(x) = f'(ax + b)

Le programme de maths de terminale S s’attarde sur l’étude de fonctions composées et plus particulièrement sur la recherche de leurs limites et de leurs dérivées.

Ainsi sont étudiées des fonctions qui sont la racine carrée, la puissance, l’exponentielle ou le logarithme d’autres fonctions, mais aussi la dérivée de fonctions dont l’expression algébrique serait g(x) = f(axb) avec a et b réels. Nous verrons que g'(x) = af'(ax + b).

Comme de bien entendu, l’étude d’une fonction quelle qu’elle soit commence par la délimitation de son ensemble de définition, mais aussi de dérivabilité. En l’occurrence, si f est dérivable sur un intervalle I, alors g doit l’être sur un intervalle J de sorte que ax + b appartienne bien à I.

Démonstration

Souvenez-vous du programme de première, lorsque vous découvriez avec émerveillement les joies de la dérivation. Vous fîtes d’abord connaissance avec le nombre dérivé.

Rappel. Soit une fonction g et soit h l’écart entre x et une valeur x0. Le taux de variation s’écrit ainsi :

taux de variation

Le nombre dérivé g’(x0) est le nombre obtenu lorsque h est infiniment petit. C’est donc la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0.

En l’occurrence, nous pouvons réécrire ce taux mais cette fois en fonction de f.

taux de variation en fonction de f

Si l’on développe…

développement

Il va être commode de procéder à deux changements de variables. Soit H = ah et soit X0 = ax0 + b. Notre expression devient :

avec changements de variables

Lorsque h tend vers 0, il est évident que H tend aussi vers 0.

limite

Or f’(X0)f’(ax0 + b). Donc :

conclusion

Pour revenir à nos variables de départ…

Exemple

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = g(3x –5). On sait que g’(x) = .

Pour écrire l’expression de f’ en fonction de g’ (et de x) il suffit de se caler sur la formule.

Donc, f’(x) = 3g’(3x – 5)

Maintenant, pour écrire l’expression en fonction de x seulement…

f’(x) = 3(3x – 5)²
f’(x) = 3(9x – 30x + 25)
f’(x) = 27x – 90x + 75

Généralisation

D’une manière générale, sous les conditions de dérivabilité, une fonction g définie par g(x) = f(u(x)) a pour dérivée g’(x) = u’(x) × f’(u(x)). Voir les tableaux de la page opérations sur les dérivées.

Exercice

Soit v une fonction définie sur R telle que v’(x) = 3 + 5x – 1.

1- Soit f une fonction définie sur R telle que f(x) = v(-x).

Exprimer f’(x) en fonction de x.

2- Soit g une fonction définie sur R telle que g(x) = 2x + 1

Exprimer g’(x) en fonction de x.

Corrigé

1- Exprimons d’abord f’ en fonction de v’.

f’(x) = -v’(-x)

À présent, remplaçons.

f’(x) = -3(-x)² – 5(-x) + 1
f’(x) = -3x² + 5x + 1

2- Exprimons d’abord g’ en fonction de v’.

g’(x) = 2v’(2+ 1)
g’(x) = 2 × [3(2x + 1)² + 5(2x + 1) – 1]

Développons.

g’(x) = 2 × [3(4 + 4x + 1) + 10x + 5 – 1]
g’(x) = 2 × [12 + 12x + 3 + 10x + 4]
g’(x) = 2 × (12 + 22x + 7)
g’(x) = 24 + 44x + 14

Si vous avez déjà étudié les primitives (mais en principe pas encore si vous êtes en terminale S), vous pouvez même déterminer l’expression de g.

g(x) = 8x3 + 22 + 14x + c (avec c  R).

 

 

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