Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les racines

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Racines carrées

Afin que chacun s’y retrouve, voici une présentation originale : sur une même page, la chronologie de ce que l’on peut apprendre sur les racines lors de ses études.

Les années collège

La racine carrée est abordée en classe de quatrième, en particulier dans le cadre de la propriété de Pythagore, mais elle n'est vraiment étudiée qu'à partir de la troisième.

Qu’est-ce ?

La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre dont le carré est a. Ainsi une racine carrée est un nombre positif. Ce peut être un entier (a est alors un carré PARFAIT) ; par exemple 5 est la racine carrée de 25 ou encore 0 est la racine carrée de 0. Elle peut aussi comporter des décimales : par exemple la racine carrée de 0,25 est 0,5.

Pour l'écrire, on chapeaute notre a (le radicande, mais ce terme n'est pas au programme du collège) du symbole « radical ».

racine de a

Les propriétés à connaître sont (pour a et b positifs) :

multiplication et division

On apprend quelques années plus tard que ces propriétés s'étendent aux racines énièmes. Attention, ça ne fonctionne pas avec l'addition ou la soustraction.

Il est d’usage de ne laisser aucun carré sous le radical. Ainsi :

racine de 12

À la faveur d'exercices, certains manuels de troisième introduisent déjà la notion de moyenne géométrique de x et y comme racine du produit de ces deux valeurs. Un aperçu de la racine cubique est parfois donné à titre informatif.

Les années lycée

Nous avons vu qu'une racine pouvait être un nombre décimal. Mais ce nombre peut aussi être irrationnel, comme par exemple la racine carrée de 2.

La racine d'un carré n'est autre que la valeur absolue (nombre positif ou nul) :

valeur absolue

Les règles de calcul, révisées en seconde, ouvrent la voie aux quantités conjuguées, notamment pour « nettoyer » toute expression d’un fâcheux radical au dénominateur.

La manipulation algébrique des puissances met en évidence que sous la racine carrée se cache la puissance ½, que la racine cubique n’est autre que la puissance ⅓ et ainsi de suite. La racine énième de zéro est toujours nulle et celle de 1 est égale à 1.

Le lycée est aussi le théâtre d’une rencontre inoubliable avec les fonctions numériques. Au programme de première, la fonction racine carrée est positive, croissante et continue sur son ensemble de définition. Elle n’est pas dérivable en zéro mais le devient pour toute valeur positive. Sa limite à l’infini est bien sûr « plus l’infini ». Les règles de dérivation sont :

dérivation

Des exercices se trouvent en page dérivation des fonctions de type racine carrée.

Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction racine carrée apparaît en bleu alors que celle de la racine cubique est habillée de rouge (réalisation sur GeoGebra).

racines

Racine carrée déterminée par une suite : l’algorithme de Héron d’Alexandrie permet de déterminer une racine avec une précision redoutable en un nombre d’itérations assez faible (vérifiez-le sur tableur, vous en aurez pour une minute…). Si l’on cherche la racine de x, on choisit n’importe quel nombre pour initier la suite puisqu’elle converge :

algorithme de Héron

À ne pas confondre avec la suite "racine carrée" (voir page limites de suites).

Liens avec logarithmes et fonction exponentielle : une racine carrée vérifie l’identité suivante :

racine

Les années d’études supérieures

Les nombres présentant des racines sous des racines sont dits « à racines imbriquées ». Exemple :

racines imbriquées

Survolons à présent la détermination des racines énièmes d’un nombre complexe. Il en existe n. Un nombre complexe possède donc deux racines carrées. Dans C, celles de 1 sont tout simplement  -1 et 1.

Soit r la puissance énième du module ρ et alpha la puissance énième de l’argument θ.

Les formes exponentielles des racines carrées sont :

racines carrées complexes

Les n racines énièmes admises par un nombre complexe Z = reiα s’écrivent sous la forme :

racine n

Enfin, au cours d'études supérieures non mathématiques, on peut découvrir des applications pratiques dans lesquelles interviennent les racines carrées (voir par exemple le modèle de Wilson).

 

racines

 

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