Racines carrées
Afin que chacun s’y retrouve, voici une présentation originale : sur une même page, la chronologie de ce que l’on peut apprendre sur les racines lors de ses études.
Les années collège
La racine carrée est abordée en classe de quatrième, en particulier dans le cadre de la propriété de Pythagore, mais elle n'est vraiment étudiée qu'à partir de la troisième.
Qu’est-ce ?
La racine carrée d’un nombre positif \(a\) est le nombre dont le carré est \(a.\) Ainsi une racine carrée est un nombre positif. Ce peut être un entier (\(a\) est alors un carré parfait) ; par exemple 5 est la racine carrée de 25 ou encore 0 est la racine carrée de 0. Elle peut aussi comporter des décimales : la racine carrée de 0,25 est 0,5.
Pour l'écrire, on chapeaute notre \(a\) (le radicande, mais ce terme n'est pas au programme du collège) du symbole « radical » : \(\sqrt{a}\);
Les propriétés à connaître sont (pour \(a\) et \(b\) positifs) :
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (\(b \ne 0\))
On apprend quelques années plus tard que ces propriétés s'étendent aux racines énièmes. Attention, ça ne fonctionne pas avec l'addition ou la soustraction.
Il est d’usage de ne laisser aucun carré sous le radical. Ainsi, \(\sqrt{12}\) \(=\) \(\sqrt{2^2 \times 3}\) \(=\) \(2 \sqrt{3}\)
À la faveur d'exercices, certains manuels de troisième introduisent déjà la notion de moyenne géométrique de \(x\) et \(y\) comme racine du produit de ces deux valeurs. Un aperçu de la racine cubique est parfois donné à titre de complément.
Les années lycée
Nous avons vu qu'une racine pouvait être un nombre décimal. Mais ce nombre peut aussi être irrationnel, comme par exemple la racine carrée de 2.
La racine d'un carré n'est autre que la valeur absolue (nombre positif ou nul) : \(\sqrt{x^2} = |x|\)
Les règles de calcul, révisées en classe de seconde, ouvrent la voie aux quantités conjuguées, notamment pour « nettoyer » toute expression d’un fâcheux radical au dénominateur. Voir la page d'exercices sur les racines carrées, de niveau seconde.
La manipulation algébrique des puissances met en évidence que sous la racine carrée se cache la puissance \(\frac{1}{2},\) que la racine cubique n’est autre que la puissance \(\frac{1}{3}\) et ainsi de suite. La racine énième de zéro est toujours nulle et celle de 1 est égale à 1.
Le lycée est aussi le théâtre d’une rencontre inoubliable avec les fonctions numériques. Au programme de première, la fonction racine carrée est positive, croissante et continue sur son ensemble de définition. Elle n’est pas dérivable en zéro mais le devient pour toute valeur positive.
Sa limite à l’infini est \(+ \infty.\)
Les règles de dérivation sont :
Si \(f(x) = \sqrt{x},\) alors \(f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
Et \(\left(\sqrt{u(x)} \right)' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)
Des exercices se trouvent en pages d'exercices sur ensembles de définition et de dérivation des fonctions de type racine carrée.
Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction racine carrée apparaît en bleu alors que celle de la racine cubique est habillée de rouge (réalisation sur GeoGebra).
Racine carrée déterminée par une suite : l’algorithme de Héron d’Alexandrie permet de déterminer une racine avec une précision redoutable en un nombre d’itérations assez faible (vérifiez-le avec un tableur, vous en aurez pour une minute…). Si l’on cherche \(\sqrt{x},\) on choisit n’importe quel nombre pour initier la suite puisqu’elle converge :
\[u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{x}{u_n} \right)\]
À ne pas confondre avec la suite racine carrée (voir la page sur les limites de suites).
Liens avec logarithmes et fonction exponentielle : une racine carrée vérifie l’identité suivante :
\[\sqrt{x} = \exp \left(\frac{\ln x}{2} \right)\]
Les années d’études supérieures
Les nombres présentant des racines sous des racines sont dits « à racines imbriquées ». Exemple :
\[\sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}}} = 4\]
Survolons à présent la détermination des racines énièmes d’un nombre complexe. Il en existe \(n.\) Un nombre complexe possède donc deux racines carrées. Dans \(\mathbb{C},\) celles de 1 sont tout simplement -1 et 1.
Soit \(r\) la puissance énième du module \(ρ\) et \(\alpha\) la puissance énième de l’argument \(θ.\)
Les formes exponentielles des racines carrées sont :
\(z_0 = \sqrt{r} \exp \left(\frac{i \alpha}{2} \right)\) et \(z_1 = - \sqrt{r} \exp \left( \frac{i \alpha}{2} \right)\)
Les \(n\) racines énièmes admises par un nombre complexe \(Z = re^{i \alpha}\) s’écrivent sous la forme :
\[z_k = \sqrt[n]{r} \exp \left[ i \left( \frac{\alpha + 2 k \pi}{n} \right) \right]\]
Enfin, au cours d'études supérieures non mathématiques, on peut découvrir des applications pratiques dans lesquelles interviennent les racines carrées (voir par exemple le modèle de Wilson).
