Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

L'intégration

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Généralités sur les intégrales définies

En feuilletant un livre de maths, on repère vite les intégrales avec leur opérateur particulièrement décoratif (l’intégrateur) qui ressemble à un S élastique sur lequel on a trop tiré (c'est d'ailleurs bien un S, symbole de SOMME). Elles servent notamment à mesurer une aire comprise entre deux valeurs (éventuellement infinies), l’axe des abscisses et la courbe représentative d’une fonction continue (voire prolongée par continuité). Par différence, elles permettent aussi la mesure d'une aire entre deux courbes. Dans un espace à trois dimensions, l'intégration permet de déterminer des volumes.

L'intégrale permet en outre de déterminer la valeur moyenne prise par une fonction sur un intervalle.

NB : le contenu de cette page est destiné à rafraîchir les souvenirs des étudiants et à servir de repère aux élèves de terminale S qui ont déjà assimilé une introduction aux intégrales.

Présentation

Supposons deux valeurs a et b avec b > a et une fonction f continue positive entre ces deux valeurs.

La somme de a à b de f(x) dx s’écrit (le « dx » est le symbole différentiel) :

intégrale

a et b sont les bornes de l'intégrale. Évidemment, si elles sont égales, l’intégrale est nulle. Sinon, la valeur obtenue exprimée en unités d’aire (u.a.) est égale à une primitive en b moins une primitive en a, soit F(b) – F(a). Une u.a. est l'aire du rectangle construit à partir des deux normes du plan (une largeur de 1 et une hauteur de 1). Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative.

Note : on utilise une primitive sans constante inutile : on voit bien qu'une constante serait soustraite à elle-même.

Prenons un exemple simple, tiré de l’épreuve du bac ES (juin 2007, Amérique du nord) :

exemple à intégrer

La fonction est bien sûr définie et continue sur [1 ; 3]. Le quotient est sous forme u’ / u à condition de le multiplier par ½. C’est une dérivée logarithmique. On indique la primitive sans constante entre crochets puis on soustrait F(3) – F(1) :

résultat de l'intégration

Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié. L'intégrale est donc négative mais une aire se mesure, comme une distance, par une valeur POSITIVE. En l'occurrence, notre aire est donc égale à la valeur absolue du nombre trouvé.

Il est possible qu'une fonction n'admette pas de primitive connue. Sous certaines conditions, une intégrale peut tout de même être approximée par d'autres moyens (sommes de Davoux...).

Propriétés

Elles sont assez intuitives.

La croissance de l'intégrale : ∀ x ∈ [a , b], si f(x) > g(x) alors...

croissance de l'intégrale

La relation de Chasles s'applique au calcul des aires…

relation de Chasles

Il s'ensuit que :

propriété

À l'instar de la dérivation, l'intégration est une opération linéaire :

multiplication par un nombre

linéarité

Si g est une fonction supérieure ou égale à f sur [a ; b], l’aire située entre les deux bornes et les deux courbes représentatives des fonctions est égale à…

aire

Si l’on combine cette formule avec la relation de Chasles, on peut calculer une aire entre deux courbes qui se croisent.

Exemple de calcul d’aire entre deux fonctions : voir la page indice de Gini. Exemple d'application en finance : voir la page taux continu.

Enfin, l'inégalité de la moyenne :

inégalité de la moyenne

Au-delà du bac...

En analyse, il est primordial de savoir manier l'intégration, non seulement pour les calculs d'aires, mais aussi parce que certaines fonctions ne sont définies que par leur intégrale (intégrales de Poisson, de Fresnel, fonctions eulériennes...). Certaines suites aussi, d'ailleurs.

Les intégrations trop rétives peuvent parfois être résolues par la technique de l’intégration par parties et/ou par changement de variable.

Lorsqu'une fonction est intégrée sur un intervalle infini, ou si la fonction prend des valeurs infinies sur cet intervalle, on parle d'intégrale généralisée ou impropre. En statistiques, c'est ce type d'intégrale qui permet de vérifier si une fonction est bien une une fonction de densité et de connaître son espérance et sa variance.

À l’instar des dérivées successives, on calcule des intégrales doubles, triples, etc.

Enfin, certains problèmes nécessitent l'étude de suites d'intégrales (voir par exemple la page intégrales de Wallis).

 

intégrale

 

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