L'intégration

Généralités sur les intégrales définies

En feuilletant un livre de maths, on repère vite les intégrales avec leur opérateur particulièrement décoratif (l’intégrateur) qui ressemble à un S élastique sur lequel on a trop tiré (c'est d'ailleurs bien un S, symbole de SOMME). Graphiquement, l'intégration sert à mesurer une aire comprise entre deux valeurs (éventuellement infinies), l’axe des abscisses et la courbe représentative d’une fonction continue (voire prolongée par continuité), mais aussi des volumes dans un espace à trois dimensions.

Cette opération permet en outre de calculer la valeur moyenne prise par une fonction sur un intervalle.

Note : le contenu de cette page est destiné à rafraîchir les souvenirs des étudiants et à servir de repère aux élèves de terminale générale qui ont déjà assimilé une introduction aux intégrales.

 

Présentation

Soit deux réels \(a\) et \(b\) avec \(b > a\) et une fonction \(f\) continue positive entre ces deux valeurs.

La somme de \(a\) à \(b\) de \(f(x) dx\) s’écrit (le « \(dx\) » est le symbole différentiel) :

\[\int_a^b {f(x)dx} \]

\(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale. Évidemment, si elles sont égales, l’intégrale est nulle. Sinon, la valeur obtenue exprimée en unités d’aire (u.a.) est égale à une primitive en \(b\) moins une primitive en \(a,\) soit \(F(b) - F(a).\) Une u.a. est l'aire du rectangle construit à partir des deux normes du plan (une largeur de 1 et une hauteur de 1). Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative.

Note : on utilise une primitive sans constante inutile : on voit bien qu'elle serait soustraite à elle-même.

Prenons un exemple simple, tiré de l’épreuve du bac ES (juin 2007, Amérique du nord) :

\(f(x) = -1 + \frac{1}{2x - 1},\) calculer \(\int_1^3 {f(x)dx} \)

La fonction est définie et continue sur \([1\,;3].\) Le quotient se présente sous une forme \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) à condition de le multiplier par \(\frac{1}{2}.\) C’est une dérivée logarithmique. On indique la primitive sans constante entre crochets puis on soustrait \(F(3) – F(1)\) :

\(\left[ { - x + \frac{1}{2}\ln (2x - 1)} \right]_1^3\) \(=\) \(-2 + \frac{1}{2}\ln 5\)

Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié. L'intégrale est donc négative mais une aire se mesure, comme une distance, par une valeur POSITIVE. En l'occurrence, elle est donc égale à la valeur absolue du nombre trouvé.

Il est possible qu'une fonction n'admette pas de primitive connue. Sous certaines conditions, une intégrale peut tout de même être approximée par d'autres moyens (sommes de Davoux...).

 

Propriétés

Elles sont assez intuitives.

La croissance de l'intégrale : \(\forall x \in [a,b],\) si \(f(x) > g(x)\) alors...

\[\int_a^b {f(x)dx} > \int_a^b {g(x)dx} \]

La relation de Chasles s'applique au calcul des aires…

\[\int_a^b {f(x)dx} + \int_b^c {f(x)dx} = \int_a^c {f(x)dx} \]

Il s'ensuit que :

\[\int_a^b {f(x)dx} = - \int_b^a {f(x)dx} \]

À l'instar de la dérivation, l'intégration est une opération linéaire \(k \in \mathbb{R}\) :

\[\int_a^b {kf(x)dx} = k\int_a^b {f(x)dx} \]

\[\int_a^b {f(x)dx} + \int_a^b {g(x)dx} = \int_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx\]

Si \(g(x) \geqslant f(x)\) sur \([a\,;b],\) l’aire située entre les deux bornes et les deux courbes représentatives des fonctions est égale à…

\[\int_a^b {\left[ {g(x) - f(x)} \right]} dx\;u.a\]

Si l’on combine cette formule avec la relation de Chasles, on peut calculer une aire entre deux courbes qui se croisent.

Exemple de calcul d’aire entre deux fonctions : voir la page indice de Gini. Exemple d'application en finance : voir la page taux continu.

Enfin, l'inégalité de la moyenne : si \(m \leqslant f(x) \leqslant M\) alors...

\[m(b - a) < \int_a^b {f(x)dx} < M(b - a)\]

Les intégrations trop rétives peuvent parfois être résolues par la technique de l’intégration par parties ou par changement de variable.

difficultés

 

Au-delà du bac...

En analyse, il est primordial de savoir manier l'intégration, non seulement pour les calculs d'aires, mais aussi parce que certaines fonctions ne sont définies que par leur intégrale (intégrales de Poisson, de Fresnel, fonctions eulériennes...). Certaines suites aussi, d'ailleurs.

Lorsqu'une fonction est intégrée sur un intervalle infini, ou si la fonction prend des valeurs infinies sur cet intervalle, on parle d'intégrale généralisée ou impropre. En statistiques, c'est ce type d'intégrale qui permet de vérifier si une fonction est bien une une fonction de densité et de connaître son espérance et sa variance.

À l’instar des dérivées successives, on calcule des intégrales doubles, triples, etc.

Enfin, certains problèmes nécessitent l'étude de suites d'intégrales (voir par exemple la page intégrales de Wallis).

 

intégrale