Vous connaissez les intégrales, avec son opérateur particulièrement décoratif (l’intégrateur), qui ressemble à un S élastique sur lequel on a trop tiré. Vous savez également que l’intégrale sert à mesurer une surface entre deux valeurs (éventuellement infinies), l’axe des abscisses et la courbe représentative d’une fonction continue. Enfin, vous vous souvenez qu’un calcul d’intégrale nécessite la détermination d’une primitive.

Eh bien puisque vous savez tout ça, il ne me reste plus qu’à rafraîchir quelques petits souvenirs annexes…

Propriétés

La somme de a à b de f(x)dx s’écrit…

On suppose que b > a. Évidemment, si a = b, l’intégrale est égale à zéro. Sinon, la valeur obtenue, exprimée en unités d’aire (u.a.), est égale à une primitive en b moins une primitive en a, soit F(b) – F(a). On utilise la primitive sans constante inutile : on voit bien que cette dernière serait soustraite à elle-même.

Le « dx » est le symbole différentiel.

Prenons un exemple simple, tiré de l’épreuve du bac ES (juin 2007, Amérique du nord) :

La fonction est bien continue entre 1 et 3. Le quotient est sous forme u’ / u à condition de le multiplier par ½. C’est la dérivée d’un logarithme. La réponse est :

Il est assez intuitif que la relation de Chasles s'applique aux intégrales…

La propriété suivante ne présente pas non plus de difficulté :

Dans la mesure où la détermination d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, on se doute que l'intégration est aussi une opération linéaire :

Soit g(x) une fonction supérieure ou égale à f(x), on peut calculer l’aire située entre les deux fonctions qui est égale à…

Si l’on combine cette formule avec la relation de Chasles, on peut calculer une aire entre deux courbes qui se croisent. À partir du graphique ci-dessous, comment déterminer l’aire entre a et c sachant que les courbes se croisent en b ?

Réponse :

Un calcul d’aire nécessite l’étude du signe d’une fonction. S’il s’agit comme ici d’une aire entre deux courbes, il est évident qu’on doit savoir laquelle se situe au-dessus et, le cas échéant, en quel(s) point(s) les deux fonctions s’égalisent.

Exemple d’aire entre deux fonctions : voir en bas de page indice de Gini.

Dernière propriété, appelée inégalité de la moyenne :

Cette propriété est particulièrement usitée pour encadrer les intégrales.

Les intégrations particulièrement rétives peuvent souvent être résolues par la technique de l’intégration par parties et / ou par changement de variable.

À l’instar des dérivées successives, on calcule des intégrales doubles, triples, etc.