Quelques modélisations

Modélisations (niveau seconde)

Depuis le collège, il est demandé aux élèves de modéliser. Pour dire les choses simplement, il faut passer par les maths pour résoudre un problème concret. Généralement, la modélisation se traduit par la résolution d’une équation ou d’une inéquation.

Les mini problèmes de calcul littéral qui suivent s’inscrivent dans le programme de seconde. Voir aussi les modélisations de probabilités.

 

Exprimer une variable en fonction d’autres variables

Soit \(V\) le volume d’un cylindre, \(r\) son rayon et \(h\) sa hauteur.

Vous devez connaître la formule \(V = \pi r^2 h.\)

Exprimer \(r\) en fonction de \(V\) et \(h.\)

\({r^2} = \frac{V}{{\pi h}}\) donc \(r = \sqrt {\frac{V}{{\pi h}}} \) (\(r\) étant une longueur, c’est un nombre positif).

C'était plus un échauffement qu'une modélisation. Poursuivons.

 

Comparer deux quantités en utilisant leur différence

Soit un carré de côté \(x\) et le triangle rectangle suivant :

Pour quelle valeur de \(x\) le carré et le triangle ont-ils la même aire ?

L’aire du carré est égale à \(x^2.\) Celle du triangle rectangle est égale à \(\frac{{2x \times 8}}{2}\) donc \(8x.\)

Nous posons \(x^2 = 8x\)

Pour résoudre une telle équation, il faut raisonner sur la différence entre les deux aires (qui doit évidemment être nulle).

\(x^2 - 8x = 0\)

C’est une équation du second degré. Il faut factoriser.

\(x(x - 8) = 0\)

Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul. Donc \(x = 0\) (mais cette solution ne peut être retenue car elle n’a pas de sens dans cet exercice) ou \(x = 8.\)

Ainsi \(x\) doit être égal à 8.

 

Modélisation avec puissances

Une boule est coincée dans un pavé droit de \(2x \times 2x \times 6\) (avec \(x \le 3\) pour que la boule ne dépasse pas du pavé). Son diamètre est donc de \(2x.\)

Pour quelle valeur de \(x\) le volume de la boule est-il égal au volume de la partie vide du pavé ?

Rappelons que le volume d’une boule est \(V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3\)

Donc, le volume de notre chère boule est de \(V = \frac{4}{3} \times \pi \times x^3\) (pas trop difficile ?)

Le volume du parallélépipède s’établit à \(2x \times 2x \times 6\) soit \(24x^2.\)

Le volume de la partie vide est donc égal à celui du pavé moins celui de la boule, donc \(24x^2 - \frac{4}{3} \pi x^3.\)

Comme les deux volumes doivent être égaux, on pose l’égalité :

\(24x^2 - \frac{4}{3}\pi x^3 = \frac{4}{3}\pi x^3\)

Résolvons…

\(24x^2 = \frac{8}{3} x^3\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} = \frac{\pi }{3}{x^3}\)

Nous savons que \(x\) est strictement positif. Nous pouvons diviser les deux membres par \(x^2.\)

\(3 = \frac{\pi}{3} x\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{9}{\pi}\)

Cette solution nous convient, elle est bien comprise entre 0 et 3.

 

Modélisation avec inéquation

Un aquarium régional propose deux formules : une entrée simple à 8 euros et un abonnement annuel de 15 euros qui permet une réduction du ticket d’entrée de \(50 \%.\)

À partir de combien d’entrées est-il avantageux de choisir l’abonnement ?

Contrairement aux exercices précédents, l’énoncé ne fait état d’aucune inconnue \(x.\) Il faut penser à la définir (attention, l’oubli de cette petite précaution est fréquent).

Soit \(n\) le nombre de visites dans l’année.

Voilà, c’est fait. Nous avons choisi \(n\) plutôt que \(x\) car nous cherchons un entier naturel (un nombre d’entrées) et habituellement on nomme ainsi les inconnues entières. Ce point n’est pas très important.

Coût des entrées sans abonnement : \(8n\)

Coût des entrées avec abonnement : \(15 + 4n\) (puisqu’une réduction de \(50 \%\) porte le prix d’entrée à 4 euros).

On souhaite savoir pour quelle valeur de \(n\) nous avons un coût avec abonnement inférieur à une dépense annuelle sans abonnement.

\(15 + 4n < 8n\)
\( \Leftrightarrow 15 < 4n\)
\(\Leftrightarrow \frac{15}{4} < n\)
\(\Leftrightarrow n > 3,75\)
\(\Leftrightarrow n = 4\)

C’est à partir de quatre entrées dans l’année que le système de l’abonnement est plus avantageux. On vérifie d’ailleurs que sans abonnement la dépense s’élève à 32 euros contre \(15 + 16 = 31\) euros avec l’abonnement.