Les puissances

Généralités sur les puissances

Les propriétés des puissances ne doivent pas vous être étrangères. Tout ce qui est écrit sur cette page est en effet connu à la sortie du collège. Pour d’émouvantes retrouvailles en seconde.

 

Définition et propriétés

Puissances d’exposant entier positif : soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul. Le produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(a\) se note \(a^n\) (\(a\) puissance \(n\) ou \(a\) exposant \(n\)).

\(n\) est appelé l’exposant.

Exemple : \((-2)^3 =(-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)

Attention aux parenthèses : \((-2)^2= (-2) \times (-2) = 4\) tandis que \(-2^2 = -4.\) En l’absence de parenthèses, la puissance a toujours priorité. Si l’on pose \(2x^2\) et que \(x = 3,\) nous obtenons \(2 \times 3^2\) \(= 2 \times 9=18\) et non pas \(6^2 = 36.\)

Cas particulier : un réel élevé à la puissance 1 est égal à lui-même. Exemple : \(7^1 = 7.\)

Puissances d’exposant nul : un réel élevé à la puissance 0 est toujours égal à 1.

Puissances d’exposant entier négatif : \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) avec \(a\) non nul. Par exemple, l’écriture fractionnaire de \(6^{-1}\) est \(\frac{1}{6}.\)

De même, \(\frac{1}{{8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8}} = {8^{ - 6}}.\)

Les règles de calcul ne sont pas difficiles à retenir.

\(a^n \times a^p = a^{n + p}\)

Par exemple, \(2^2 \times 2^3 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 25.\)

\(\frac{{{a^n}}}{{{a^p}}} = {a^{n - p}}\) avec \(a\) non nul.

Par exemple, si l'on divise \(2^8,\) c'est-à-dire 256, par \(2^6,\) c'est-à-dire 64, on obtient 4, c'est-à-dire \(2^2.\)

\({\left( {{a^n}} \right)^p} = {a^{n \times p}}\)

Toujours un exemple : (\(2^2)^3\) est égal à \(4^3\), soit 64 que l'on obtient aussi en posant \(2^{2 \times 3}\), soit \(2^6.\)

\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)

L'inévitable exemple : \((2 \times 3)^3 = 6^3\) c'est-à-dire 216. Si l'on décompose \(2^3 \times 3^3\) donc \(8 \times 27\) et l'on obtient bien 216.

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\) avec \(b\) non nul.

Soit \({\left( {\frac{4}{2}} \right)^3}\) ; on peut obtenir le résultat du calcul en posant \(2^3\) donc 8 ou \(4^3\) divisé par \(2^3\) donc 64 divisé par 8, c'est-à-dire 8.

Il est toujours rapide de retrouver les formules de puissances avec des exemples lorsqu'on les a malencontreusement égarées.

 

Écriture scientifique

Il est simple de multiplier mentalement un nombre par une puissance de 10. Il suffit d’ajouter des zéros ou des décimales : ainsi 1 234,5 peut s’écrire \(12\,345 \times 10^{-1},\) \(123,45 \times 10^1,\) \(0,12345 \times 10^4,\) \(1,2345 \times 10^3,\) etc.

Cette dernière notation est appelée « scientifique ».

L’écriture scientifique d’un nombre décimal se présente sous la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \le a < 10\) et \(n \in \mathbb{Z}.\)

Exemples : l’écriture scientifique de 125 300 est \(1,253 \times 10^5\) et celle de 0,033 est \(3,3 \times 10^{-2}.\)

Votre calculatrice vous permet d’obtenir les écritures scientifiques. Par exemple, avec une TI-83, touche mode puis choix SCI (deuxième ligne). Quittez. Ensuite, si vous entrez 0.033, vous obtenez 3.3E-2, c’est-à-dire \(3,3 \times 10^{-2}.\)

 

Exercices

1- Écrire \(A\) et \(B\) sous la forme \(x^n\) (\(x\) est un réel non nul)

\[A = x^5 \times x^{-3} \times (x^3)^{-4}\] \[B = \frac{x^2}{x^{-5} \times x^6}\]

2- Écrire les nombres suivants sous la forme \(a^n \times b^p\) (\(a\) et \(b\) réels)

\[A = \frac{(ab)^3}{a^{-1}}\] \[B = \frac{b^5}{a^5 \times b^3}\]

3- Écrire en notation scientifique

\[A = 2 \times 10^4 + 21 \times 10^2 + 10^{-1}\] \[B = \frac{2 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^8 \times 5 \times 10^2}{6 \times 10^4}\]

4- Jean-François Champollion est né le 23 décembre 1790 et mort le 4 mars 1832. Combien de jours a-t-il vécu ? Donner la réponse en notation scientifique (une année bissextile de 366 jours revient tous les 4 ans sauf lorsqu'elle est divisible par 100 mais elle l’est si elle est divisible par 400. L’année 1792 était bissextile).

Champollion

 

Corrigés

1- \(A = x^5 \times x^{-3} \times x^{-12}\) \(= x^{5 - 3 - 12}\) \(= x^{-10}\)

\(B = x^2 \times x^5 \times x^{-6} = x\)

2- \(A = a^3 \times b^3 \times a^1 = a^4b^3\)

\(B = b^5 \times a^{-5} \times b^{-3}\) \(= a^{-5}b^2\)

3- Avec l'addition \(A\) est un peu compliqué... Commençons par déterminer l'écriture décimale.

\(A = 20\,000 + 2\,100 + 0,1\) = \(22\,100,1 = 2,21001 \times 10^4\)

\(B = \frac{5 \times 10^7}{10^4} = 5 \times 10^3\)

4- Champollion a vécu 41 années complètes, 8 jours en 1790 et 63 jours en 1832 (plus le 29 février que nous rajouterons plus tard).

Si 1792 était bissextile, 1800 aurait pu l’être mais cette année est divisible par 100 et pas par 400. On compte donc dix années bissextiles sur la période.

\((41 \times 365) + 8 + 63 + 10\) = \(15\,046\) jours. Pour répondre à l’exigence farfelue de l’énoncé, cela fait \(1,5046 \times 10^4.\)

Champollion a vécu \(1,5046 \times 10^4\) jours (ce n’est pas beaucoup mais sa vie fut bien remplie…)

 

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