Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une initiation à la convexité

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Convexité et point d'inflexion

Cette page est principalement destinée aux élèves de terminale ES. Contrairement à la page convexité de ce site web, elle ne s’appuie que sur des fonctions très simples (ce chapitre est souvent vu en début d’année, avant que soient présentées la fonction exponentielle et la fonction logarithme).

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et Cf sa courbe représentative. Si pour tous les points distincts A et B de Cf le segment [AB] est au-dessus de Cf, alors f est convexe sur I. Inversement, si [AB] est au-dessous de Cf, f est concave sur I.

Visualisons

La courbe ci-dessous montre que sur l’intervalle a [-2 ; -1] la fonction est convexe tandis qu’elle est concave sur b [1 ; 2] (réalisation GeoGebra).

convexe et concave

Propriété

f est convexe si et seulement si pour tous réels x1 et x2 de I, on a :

propriété

C’est d’ailleurs assez évident. Le milieu du segment se situe au-dessus de la courbe. Et inversement là où f est concave.

Dérivabilité

f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I, donc si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I. Inversement, f est concave sur I si et seulement si f’’ < 0 sur I. En pratique, c’est ainsi que l’on détermine la convexité d’une fonction dont on connaît l’équation.

Tangentes

f est convexe sur I si et seulement si Cf est entièrement au-dessus de toutes ses tangentes. Inversement, f est concave si Cf est au-dessous de ses tangentes.

Illustration : la fonction carré est convexe sur R. Toutes les tangentes à sa courbe se situent au-dessous de celle-ci.

fonction carré

Exemple

Soit la fonction f définie sur R par :

f(x)

Montrons qu’il existe un point d’inflexion au point d’abscisse 0 avec la technique de la tangente. Pour cela, il faut d’abord dériver f (le cas échéant, revoir le mode d’emploi en page dérivée d’un quotient de fonctions).

f'(x)

L’équation de la tangente en 0 est si simple qu’elle peut être déterminée mentalement. Elle est de la forme y = f(0) + xf’(0), soit y = 0,5x + 1. Soustrayons cette équation à celle de f.

g(x)

En plaçant tout sur le même dénominateur puis en développant, nous obtenons, après réduction :

g(x)

Nous remarquons aussitôt que le signe de g est celui de son numérateur. Cette fonction est positive sur R-, négative sur R+ et nulle sur 0. Par conséquent, la courbe représentative de la fonction est au-dessus de la tangente pour tout x < 0 (puisque l’écart est positif) et inversement pour tout x > 0. Nous en concluons que la tangente traverse la courbe au point d’abscisse 0 (NB : cette astuce qui consiste à étudier le signe d’une différence de fonctions revient souvent dans les exercices, voir la page positions relatives de courbes.

Point d’inflexion

S’il existe un point A de Cf tel que la tangente à la courbe en A traverse Cf en A, alors A est un point d’inflexion.

Si f’ change de sens de variation en x0, alors Cf admet un point d’inflexion au point d’abscisse x0. On en déduit que f’’(x0) = 0 et que la convexité de f change en x0.

Exemple (suite)

Reprenons la fonction f que nous venons de quitter, vérifions l’existence du point d’inflexion grâce à la dérivée seconde et voyons si la courbe en admet d’autres. Sur quel(s) intervalle(s) est-elle strictement convexe ?

f''(x)

Déterminons les valeurs de x pour lesquelles f’’ s’annule. Le dénominateur est strictement positif. Il reste :

signe de f''(x)

f est strictement convexe sur ]-√6 ; 0[ U ]√6 ; +∞[.

Bien compris ? Pour en être sûr, rien de tel que s'exercer sur les annales du bac : voir la page exercice sur la convexité. Et si vous avez déjà étudié la fonction exponentielle, faire les exercices de la page exponentielle et convexité (terminale ES).

 

chameau

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés