Classes de fonctions et théorème de Leibniz
Vous connaissez certainement les bienfaits de la dérivation d’une fonction numérique. Mais qu’en est-il d’une dérivée de dérivée, qui est elle-même dérivée à son tour et ainsi de suite ? Pour un aperçu du sujet, nous ne pouvons que vous conseiller de poursuivre la lecture de cette page introductive aux dérivées successives d’une fonction à une variable…
Mais au préalable, voyons ce qu'est une classe de fonctions.
Classes de fonctions
Sur un intervalle donné, une fonction est de classe \(C^0\) si elle est continue.
Si en plus elle est dérivable et si sa dérivée est continue, elle est de classe \(C^1.\)
Si elle est dérivable deux fois et que ses dérivées (première et seconde) sont continues, elle est de classe \(C^2.\) Et ainsi de suite.
Si elle est indéfiniment dérivable et que ses dérivées successives sont toutes continues, elle est de classe infinie (\(C^{\infty}\)). Dans la mesure où la fonction exponentielle est sa propre dérivée, elle constitue un exemple de choix de dérivation infinie…
Si deux fonctions sont de classe \(C^n,\) leur somme est elle aussi de classe \(n.\)
Dérivée seconde
La dérivée d’une dérivée \(f’\) se note \(f’’\) (se lit f seconde de x) et nous renseigne sur la convexité d’une fonction. Lorsque \(f'’(x) < 0,\) la fonction est concave et quand \(f’’(x) > 0\) elle est convexe (ces notions s’apprécient en regardant la courbe représentative depuis le « haut »). La dérivée seconde s’annule sur les points d’inflexion (exemple en page d'extremums).
Dérivées d'ordre \(n\)
La dérivée troisième donne une indication sur la pente de la courbe représentative de la dérivée seconde, et ainsi de suite. On note la dérivée troisième \(f'''\) ou \(f^{(3)}.\) Ces notations sont dues à Joseph-Louis Lagrange, l'un des plus grands mathématiciens du dix-huitième siècle.
Voyons à présent le moyen de déterminer directement la dérivée d'ordre \(n\) pour quelques types de fonctions.
Soit \(f(x) = x^{a}.\) Considérons d'abord que \(a\) est un entier naturel. Pour \(n\) compris entre 0 et \(a,\) nous avons \(f^{(n)}(x) = \frac{a!}{(a - n)!} \times x^{a - n}.\)
Du coup, la dérivée d'ordre \(n\) de \(x^n\) est tout simplement \(n!\) (factorielle n). Par exemple, on sait que la dérivée d'ordre 5 de \(x^5\) s'établit à 120 sans avoir à calculer les dérivées intermédiaires. Ceci reste valable pour une fonction polynomiale dont le terme du plus haut degré est \(x^n.\)
Si \(a\) est un réel, \(f^{(n)}(x)\) \(= a(a - 1)(a - 2)\) ... \((a - n + 1)x^{a-n}\) (pour \(x\) strictement positif).
Soit maintenant la fonction \(f\), définie sur l'ensemble des réels privé de \(-a\) par \(f(x) = \frac{1}{x+a}.\)
La dérivée d'ordre \(n\) s'établit ainsi :
\[f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x + a)^{n+1}}\]
En qu'en est-il sur une fonction assez proche (\(x \ne a\)), défine comme \(f(x) = \frac{1}{a - x}\)
Réponse : \[f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(a - x)^{n + 1}}\]
Mentionnons également les fonctions trigonométriques.
\(f(x) = \sin(x),\) d'où \(f^{(n)}(x) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})\)
\(f(x) = \cos(x),\) d'où \(f^{(n)}(x) = \cos(x + n\frac{\pi}{2})\)
Quant à la dérivée énième du produit de deux fonctions, elle se détermine à l’aide du théorème de Leibniz qui constitue une application particulière du binôme de Newton. La formule est la suivante :
\((uv)^{(n)}\) \(= u^{(n)}v\) \(+ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}} \right)u^{(n-1)}v'\) \(+...\) \(+ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\p\end{array}} \right)u^{(n-p)}v^{(p)}\) \(+...\) \(+ uv^{(n)}\)
Évidemment, si l’un des deux termes est de classe \(p,\) notre somme ne sera constituée que de \(p + 1\) termes puisque les suivants seront nuls…
Exemple :
Dérivons à tour de bras la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^x.\)
Utilisons d’abord la technique « lycéenne ». Nous sommes en présence d’une forme \(f(x) = u(x)v(x)\) et donc \(f’(x)\) \(= u’(x)v(x) + v’(x)u(x).\) Il n’est pas difficile de découvrir que \(f’(x)\) \(= (x + 1)e^x,\) puis que \(f’’(x)\) \(= (x + 2)e^x\) et par récurrence \(f^{(n)}(x)\) \(= (x + n)e^x.\)
Retrouvons ce même résultat avec la formule de Leibniz. Si \(e^x\) est dérivable à loisir, il n’en est pas ainsi de \(x\) qui ne peut être dérivé qu’une fois. Notre formule sera donc la somme de deux termes seulement.
\(f^{(n)}(x)\) \(= uv^{(n)} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}} \right)u'{v^{(n - 1)}}\) \(= (x \times e^x) + (n \times 1 \times e^x)\) \(= (x + n)e^x.\)
Voir un autre exemple en page fonction exponentielle de base a (dérivée seconde de \(f(x) = x^x\)).
Impossible de clore ce petit aperçu sans mentionner le rôle majeur des dérivations successives dans les mathématiques, appliquées ou non. Ainsi, les équations différentielles constituent un immense champ d’étude dans les domaines les plus divers. Il s’agit d’équations dans lesquelles interviennent fonctions et dérivées successives.
