Les racines réelles d'un trinôme

Équations du second degré

Aujourd’hui, c’est en classe de première générale que l’on apprend à résoudre les équations et les inéquations du second degré. Nos lointains ancêtres auraient été surpris d’une telle érudition. Dans la Grèce antique, les mathématiciens travaillaient sur le sujet dans un cadre purement géométrique (trouver les mesures de carrés et de rectangles permettant d’obtenir une aire donnée). Les solutions devaient donc être positives mais aussi rationnelles puisque les Grecs concevaient mal l’existence d’irrationnels. Bien plus tard, le Perse Al-Khwarizmi s’affranchit de la géométrie mais ignorait toujours les nombres négatifs (bon, il avait déjà importé le zéro et la notation décimale depuis l’Inde, c’est déjà beaucoup).

 

Position du problème

Un trinôme, ou polynôme du second degré, a pour expression développée \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \ne 0\) (si \(b\) et \(c\) sont nuls, il devient « monôme du second degré de coefficient \(a\) »).

Une équation du second degré est une équation qui peut être réécrite ainsi : \(ax^2 + bx + c = 0.\)

À titre d’exemple, \(3x^2 + x + 2\) \(= 3x + 1\) devient \(3x^2 - 2x + 1 = 0.\)

Bien sûr, du temps d’Al-Khwarizmi les choses n’étaient pas aussi simples ! Il fallait examiner plusieurs cas, par exemple celui de \(ax^2 + c = bx,\) avec \(b\) positif car \(ax^2 - bx + c\) \(= 0\) n’était pas concevable ! Bref, revenons au vingt-et-unième siècle avec son abondance de nombres négatifs.

L’équation peut avoir une, deux ou aucune solution.

 

Calculs

Pour trouver ces éventuelles solutions, le polynôme doit être factorisé (produit de deux facteurs). Celle-ci requiert soit de passer par l'étape de la forme canonique, soit par le calcul, plus pratique, du discriminant noté \(\Delta\) (delta majuscule). C'est le fameux \(\Delta = b^2 - 4ac.\)

S’il est négatif, l'équation n'admet aucune solution. S'il est nul, il en existe une seule. S'il est positif, l'équation admet deux solutions que l'on nxxommera \(x_1\) et \(x_2\) et qui sont les racines du trinôme.

\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) et \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Évidemment, lorsque le discriminant est nul, on obtient ce que l'on appelle une racine double : \({x_0} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Le polynôme factorisé s’écrit \(a(x – x_1)(x – x_2).\) Comme vous l’avez deviné, si \(\Delta\) est nul, on obtient \(a(x – x_0)^2,\) auquel cas la factorisation aurait tout simplement pu être effectuée en utilisant une identité remarquable, sans l'aide de \(\Delta .\) En revanche, pas de factorisation possible si ce dernier est négatif (du moins dans l’ensemble des réels, les racines complexes n’étant qu’au programme de terminale). Le trinôme ne peut pas être égal à 0.

La résolution d'une inéquation, c'est-à-dire la recherche du signe du trinôme, requiert aussi la recherche des racines. La règle est la suivante :

  • si \(\Delta < 0,\) le signe du trinôme est le signe de \(a.\) Reprenons par exemple notre polynôme \(3x^2 - 2x + 1.\) Le discriminant est égal à \((-2)^2 - 4 \times 3 \times 1,\) donc -8. Horreur, il est négatif ! L’équation \(3x^2 - 2x + 1 = 0\) n’a pas de solution puisque quel que soit \(x,\) ce trinôme est toujours positif (puisque \(a = +3).\)

  • Si \(\Delta = 0,\) le signe du trinôme est également du signe de \(a\) sauf, nous l’avons vu, pour \(x_0\) où il est nul.

  • Si \(\Delta > 0,\) nous avons vu que le trinôme est nul pour les deux racines, \(x_1\) et \(x_2.\) Entre ces deux valeurs, son signe est le contraire de celui de \(a.\) Partout ailleurs, il est celui de \(a.\)

Exemple. Déterminons le signe de \(P = x^2 + 2x - 8.\)

On calcule le discriminant \(\Delta = 2^2 - 4(1 \times (-8)) = 36.\) Comme 36 est positif, il existe deux solutions. La racine carrée de 36 étant 6, donc un entier, les solutions ne seront pas trop alambiquées.

En appliquant les formules, on trouve \({x_1} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = - 4\) et \({x_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = - 2.\)

Ces informations nous permettent de connaître le signe de \(P\) ainsi que sa forme factorisée : \(P = (x – 2)(x + 4).\) Bien sûr, si vous obtenez la forme factorisée et que vous ne vous souvenez plus de la règle du signe si \(\Delta > 0,\) vous pouvez toujours dresser un tableau de signes.

Ainsi, \(P\) est nul si \(x\) est égal à -4 ou à 2. Entre ces deux valeurs, il est négatif puisque \(a = 1\) qui est un nombre positif. Par exemple, si \(x = 0,\) alors \(P = -8.\) En revanche, \(P\) est positif lorsque \(x\) est inférieur à -4 ou supérieur à 2.

 

Et ce n’est pas tout !

Il se trouve que \( - \frac{b}{a}\) est égal à la somme des deux racines et que \(\frac{c}{a}\) est égal à leur produit.

Lorsqu’on exécute les calculs à la main, c’est un moyen bien pratique de les vérifier. Ah ! la magie des maths !

Vérifions-le sur notre dernier exemple.

\( - \frac{b}{a}\) est égal à -2 et c'est bien la somme des deux racines. \(\frac{c}{a}\) est égal à -8 et c'est bien le produit des deux racines.

\(\left[ {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) - \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right]\left[ {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) + \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right] = 0\)

 

Démonstration

Au cas où vous seriez incrédule ou mieux, au cas où vous considéreriez qu'une démonstration par disjonction des cas est un must de votre programme de première, voici le pourquoi du comment.

Rappelons la forme canonique du trinôme : \(a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

Donc, pour que notre trinôme soit nul, il faut que \(\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] = 0\) puisque par définition \(a \ne 0.\)

Si \(\Delta < 0,\) on obtient la somme d'un terme positif et d'un terme strictement positif. Le polynôme ne peut donc pas être nul.

Si \(\Delta = 0,\) il nous reste \({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0\) et il vous saute aux yeux que l'unique solution est \(\frac{{ - b}}{{2a}}\)

Si \(\Delta > 0,\) une petite réécriture s'impose : \(\frac{\Delta }{{4{a^2}}} = {\left( {\frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)^2}\)

Moyennant quoi notre expression peut prendre la forme factorisée d'une identité remarquable. C'est magnifique.

\(\left[ {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) - \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right]\left[ {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) + \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}}} \right] = 0\)

Vous remarquez qu'il ne suffit plus de grand chose pour trouver nos racines.

\(\left( {x + \frac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)\left( {x + \frac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}}} \right) = 0\)

Et là, il ne vous reste plus qu'à franchir la ligne d'arrivée...

 

Tout ça pour faire plein d'exercices

Un trinôme a généralement pour cadre l'étude d'une fonction polynomiale du second degré (voir les pages d'exercices sur le second degré, les problèmes sur le second degré et la dérivée d'une fonction de degré 3). Mais prudence, vous pouvez même rencontrer un trinôme en étudiant une droite (voir l'exercice sur l'équation cartésienne d'une droite).