Les racines réelles d'un trinôme

Équations du second degré

Aujourd’hui, c’est en classe de première générale que l’on apprend à résoudre les équations et les inéquations du second degré.

Nos lointains ancêtres auraient été surpris d’une telle érudition. Dans la Grèce antique, les mathématiciens travaillaient sur le sujet dans un cadre purement géométrique (trouver les mesures de carrés et de rectangles permettant d’obtenir une aire donnée). Les solutions devaient donc être positives mais aussi rationnelles puisque les Grecs concevaient mal l’existence d’irrationnels.

Bien plus tard, le Perse Al-Khwarizmi s’affranchit de la géométrie mais il ignorait toujours les nombres négatifs (bon, il avait déjà importé le zéro et la notation décimale depuis l’Inde, c’est déjà beaucoup).

 

Position du problème

Un trinôme, ou polynôme du second degré, a pour expression développée \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \ne 0\) (si \(b\) et \(c\) sont nuls, il devient « monôme du second degré de coefficient \(a\) »).

Une équation du second degré est une équation qui peut être réécrite ainsi : \(ax^2 + bx + c = 0.\)

À titre d’exemple, \(3x^2 + x + 2\) \(= 3x + 1\) devient \(3x^2 - 2x + 1 = 0.\)

Bien sûr, du temps d’Al-Khwarizmi les choses n’étaient pas aussi simples ! Il fallait examiner plusieurs cas, par exemple celui de \(ax^2 + c = bx,\) avec \(b\) positif car \(ax^2 - bx + c\) \(= 0\) n’était pas concevable ! Bref, revenons au vingt-et-unième siècle avec son abondance de nombres négatifs.

L’équation peut avoir une, deux ou aucune solution.

 

Calculs

Pour trouver ces éventuelles solutions, le polynôme doit être factorisé (produit de deux facteurs). Celle-ci requiert soit de passer par l'étape de la forme canonique, soit par le calcul, plus pratique, du discriminant noté \(\Delta\) (delta majuscule). C'est le fameux \(\Delta = b^2 - 4ac.\)

S’il est négatif, l'équation n'admet aucune solution. S'il est nul, il en existe une seule. S'il est positif, l'équation admet deux solutions que l'on nommera \(x_1\) et \(x_2\) et qui sont les racines du trinôme.

\({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) et \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Évidemment, lorsque le discriminant est nul, on obtient ce que l'on appelle une racine double : \({x_0} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Le polynôme factorisé s’écrit \(a(x – x_1)(x – x_2).\) Comme vous l’avez deviné, si \(\Delta\) est nul, on obtient \(a(x – x_0)^2,\) auquel cas la factorisation aurait tout simplement pu être effectuée en utilisant une identité remarquable, sans l'aide de \(\Delta .\) En revanche, pas de factorisation possible si ce dernier est négatif (du moins dans l’ensemble des réels, les racines complexes n’étant qu’au programme de terminale). Le trinôme ne peut pas être égal à 0.

La résolution d'une inéquation, c'est-à-dire la recherche du signe du trinôme, requiert aussi la recherche des racines (voir la page sur les inéquations du second degré).

 

Et ce n’est pas tout !

Il se trouve que \( - \frac{b}{a}\) est égal à la somme des deux racines et que \(\frac{c}{a}\) est égal à leur produit.

Lorsqu’on exécute les calculs à la main, c’est un moyen bien pratique de les vérifier. Ah ! La magie des maths !

Magie ? Il y a un truc (en maths, ça s'appelle une démonstration).

Il est très facile de montrer que \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.\)

\(\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) \(= \frac{- b - \sqrt \Delta - b + \sqrt \Delta}{2a}\) \(= \frac{-2b}{2a}\) \(= - \frac {b}{a}\)

Il est un peu plus long de démontrer que \(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\) mais cela reste un exercice de niveau première générale.

\(x_1 \times x_2 = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \times \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

\(= \frac{(-b-\sqrt\Delta)(-b+\sqrt\Delta)}{(2a)^2}\)

\(= \frac{(-b)^2 - b\sqrt\Delta + b\sqrt\Delta - \Delta}{4a^2}\)

On n'y coupe pas, il faut donner l'expression de \(\Delta.\)

\(= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2}\)

\(= \frac{4ac}{4a^2}\)

\(= \frac{c}{a}\)

Appliquons ces propriétés à notre dernier exemple.

\( - \frac{b}{a}\) est égal à -2 et c'est bien la somme des deux racines. \(\frac{c}{a}\) est égal à -8 et c'est bien le produit des deux racines.

Voir une utilisation en page racines évidentes.

 

Autres démonstrations

Voir la page sur les démonstrations relatives au second degré.

 

Équations bicarrées

Une équation de type \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), donc de degré quatre, peut se résoudre de la même manière qu'une équation du second degré (voir la page sur les changements de variable).

 

Tout ça pour faire plein d'exercices

Un trinôme a généralement pour cadre l'étude d'une fonction polynomiale du second degré (voir les pages d'exercices sur le second degré, les problèmes sur le second degré, les trinômes paramétréset la dérivée d'une fonction de degré 3). Mais prudence, vous pouvez même rencontrer un trinôme en étudiant une droite (voir l'exercice sur l'équation cartésienne d'une droite).

 

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