Les fonctions périodiques

Fonctions périodiques et parties entières

Certaines fonctions, y compris des suites, sont condamnées à bégayer à l’infini. Cette situation peu enviable est par exemple celle des fonctions trigonométriques mais pas uniquement.

Note : la notion de périodicité est au programme de première générale et des premières STI2D - STL mais pas les développements présentés ici (partie entière...). Voir éventuellement la page d'exercices sur la parité, destinée aux élèves de première.

sinusoidale

 

Notion de périodicité

Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est périodique si pour tout \(x\) on a \(f(x + T) = f(x).\) Le réel \(T\) est appelé la période.

Exemple de la courbe représentative de la fonction cosinus :

cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux périodiques de période \(2\pi.\) On dit aussi qu'elles sont 2π-périodiques.

Il est inutile d’étudier une fonction plus que nécessaire. Derrière cet énigmatique conseil, on devine qu’une fonction périodique ne sera analysée que sur une seule période (inutile de réaliser un tableau de variation qui ressemble à une guirlande).

Exemple de calcul de période : soit un générateur très basse fréquence qui délivre une tension définie par \(U(t) = 3 \cos (\frac{\pi}{15}t)\) (\(t\) est le temps en secondes). Quelle est la période \(T\) de \(U\) ?

Nous savons que \(\cos x = \cos x + 2 \pi.\)

Donc \(3 \cos (\frac{\pi}{15}t) = 3 \cos(\frac{\pi}{15}t + 2 \pi)\)
\(\Leftrightarrow 3 \cos (\frac{\pi}{15}t) = 3 \cos(\frac{\pi}{15}t + \frac{30}{15} \pi)\)
\(\Leftrightarrow 3 \cos (\frac{\pi}{15}t) = 3 \cos[\frac{\pi}{15}(t + 30)]\)

La période est de 30 secondes. Par exemple, pour \(t = 0\) comme pour \(t = 30\) la tension est de 3 volts.

Autres illustrations: voir les exercices 1 et 2 de la page d'exercices avec la fonction sinus.

 

Partie entière

Soit \(E(x)\) la partie entière de \(x\) par défaut. C'est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x.\) Par exemple, \(E(-3,2) = -4.\) Et il est limpide que \(E(x + 1) = E(x) + 1.\) La manipulation des valeurs entières nécessite beaucoup de bon sens (le jeu de mots est purement fortuit).

Donc, étudions une fonction numérique qui se présente ainsi : \(f(x)\) \(= x - E(x + 0,5).\)

Notez que l’expression \(E(x + 0,5)\) est tout simplement l’arrondi à l’entier le plus proche. La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) représente donc les seules décimales et il est évident que la période est égale à 1. On a donc \(f(x)\) \(=\) \(f(x + 1)\) \(=\) \(f(x + 2)…\)

Représentation graphique...

x-E(x+0,5)

Compliquons. Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \frac{x}{3} - E(\frac{x}{3}).\) Traçons sa « courbe » représentative avec une calculette ou un logiciel (ici, Sine Qua Non) :

x/3 - E(x/3)

La somme de deux fonctions périodiques est rarement périodique. Mais ici, \(h(x) = f(x) + g(x)\) l’est bel et bien (période égale à 3) car le rapport des deux périodes est un nombre rationnel :

somme des 2

Notez bien que toutes les fonctions faisant intervenir la partie entière ne sont pas périodiques. Ci-dessous, la représentation graphique de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{E(x)}{x}\) (réalisation avec Geogebra).

non périodique

 

Pour aller plus loin...

Nous avons vu que les fonctions sinus et cosinus sont continues et de période \(2π.\) Les fonctions sécante et cosécante sont également de même période. La fonction tangente, qui n’est pas continue sur \(\mathbb{R},\) est impaire et de période \(π.\) Attention, les fonctions trigonométriques réciproques ne sont pas périodiques.

La valeur moyenne d’une fonction \(f\) de période \(T\) est obtenue par l’intégrale \(\frac{1}{T}\int_0^T {f(x)dx} \)

C'est en physique que l'on utilise beaucoup les fonctions périodiques (modélisation des ondes...). Dans les problématiques économiques, la périodicité se rencontre sur les séries chronologiques avec saisonnalité.

 

périodes