Les fonctions affines

Introduction aux fonctions affines

Voici un type de fonction usuelle simplissime. La première à être enseignée, avec la fonction linéaire, dès la classe de troisième. Sa représentation graphique est une droite positionnée dans le plan. Niveau de difficulté de cette page : classes de seconde et de premières technologiques.

Une fonction affine est définie sur R. C'est une fonction qui multiplie tout réel x par un réel constant a et lui ajoute le réel constant b. Elle a donc pour équation f(x) = ax + b.

On relève la similitude avec l'équation réduite d'une droite, a étant le coefficient directeur de sa représentation graphique et b son ordonnée à l’origine. La droite représentant une fonction affine contient donc le point de coordonnées (0 ; b).

Si b = 0, la fonction est linéaire, c'est-à-dire de type f(x) = ax. Sa droite représentative passe par l’origine du repère et permet de visualiser une parfaite proportionnalité. a est tout simplement le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de x à f(x).

Est si c'est a qui est nul ? Il n'y a plus de direction. f(x) = b. La fonction est constante. Son portrait ressemble à un encéphalogramme plat, bref, à une droite horizontale, parallèle à l'axe des abscisses.

Si a > 0 la fonction affine est strictement croissante et si a < 0 elle est strictement décroissante sur R.

Algébriquement, un coefficient directeur se détermine grâce à deux valeurs choisies arbitrairement et à leurs images par la fonction :

coefficient directeur

Quant à b, c'est bien sûr f(0).

Graphiquement, le coefficient a est la distance verticale qui permet de retrouver la droite lorsqu'on avance x d’une seule unité. Évidemment, a est positif lorsque la fonction est croissante et négatif lorsqu'elle est décroissante...

Contrairement à la fonction linéaire, l'affine ne formalise pas une situation de proportionnalité. En revanche, il y a bien proportionnalité des variations, comme le montre la formule du coefficient directeur (accroissement des images proportionnel à celui de la variable x).

Signe

La racine d'une fonction est la valeur qui l'annule (en l'occurrence -b / a).

Le signe d'une fonction affine est celui de son coefficient directeur pour les valeurs de x supérieures à sa racine. C'est évident si l'on se réfère à la représentation graphique.

Exemple : la droite ci-dessous représente la fonction f définie par f(x) = 2x + 1. Comme le coefficient directeur a = 2, il est positif.

fonction croissante

Pour les valeurs inférieures à la racine (soit -0,5), la droite est en zone rouge (fonction négative), puis pour les valeurs supérieures elle est en zone verte (fonction positive, c'est-à-dire du même signe que le coefficient directeur).

Dérivée (programme de première)

La dérivée d'une fonction affine est égale au coefficient directeur de sa représentation graphique. C'est donc une fonction constante.

Primitive (programme des terminales S et ES)

Voir la page primitives des fonctions usuelles.

Fonction affine par morceaux

Une telle fonction se présente comme une suite d'affines, linéaires ou constantes dont l’expression diffère selon des intervalles. Il est désormais rare que ce type de fonction soit vu en classe de seconde.

Exemple : f(x) = |x + 2| + |x + 1| (réalisation sur Sine Qua Non). La fonction f est continue mais ce n'est pas le cas de toutes les affines par morceaux. Voir d'autres spécimens en pages valeur absolue et fonction valeur absolue.

représentation de f

Belle progéniture...

La multiplication de deux fonctions affines se traduit tout simplement par une fonction polynomiale du second degré. Le quotient de deux fonctions affines est une fonction homographique. La composée de deux fonctions affines est elle aussi affine. Si x est un entier naturel, la fonction est une suite arithmétique.

 

affinité