Taux d'accroissement et tracé de droite
Le taux d’accroissement est une notion simple à comprendre, inscrite dans le programme de maths de seconde et de premières technologiques (curieusement, le programme de seconde l'appelle taux d'accroissement et celui de première taux de variation).
Après avoir vu de quoi il s’agit, nous expliquerons comment tracer une droite dans un plan muni d’un repère. C’est d’ailleurs tout aussi simple…
Définition
Soit une fonction \(f\) et deux réels \(a\) et \(b\) de son ensemble de définition tels que \(a < b.\)
Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) se définit ainsi :
\[\tau = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Notez que l'on peut inverser l'ordre de \(a\) et \(b\) du moment qu'on le fait au numérateur ET au dénominateur.
Graphiquement, le taux apparaît dans l'exemple ci-dessous, dans un plan muni d’un repère orthogonal. La fonction représentée est la fonction carré. Le taux d’accroissement entre \(a = 0,5\) et \(b = 2\) est égal à \(\frac{2^2 - 0,5^2}{2 - 0,5} = 2,5.\)
Le taux d’accroissement ne renseigne donc pas sur ce qu’il se passe entre les points observés. Graphiquement, on peut très bien avoir une courbe qui se retourne ou qui zigzague mais cela passe inaperçu si l’on ne dispose que du taux d’accroissement.
On ne confondra pas ce taux avec le taux de croissance, que l’on étudie dès le collège. Si l’on devait adapter celui-ci à cet exemple, on obtiendrait \(\frac{f(2)-f(0,5)}{f(0,5)} \times 100 = 1\,500\, \%\) mais un tel calcul n’a de sens qu’en maths appliquées, avec une notion d’évolution entre 2 et 3 (par exemple une évolution dans le temps) et des valeurs strictement positives.
Fonction affine
Vous avez probablement déjà fait connaissance avec le coefficient directeur d’une droite. Une fonction affine peut s’écrire \(f(x)=ax + b,\) les réels \(a\) et \(b\) étant respectivement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.
Ainsi le coefficient directeur n’est autre que le taux d’accroissement entre deux points, n’importe lesquels puisque dans ce cas il est constant (idem s’il s’agit d’une fonction linéaire).
La fonction affine est croissante si le coefficient directeur, donc le taux d’accroissement, est positif. Elle est décroissante si ce taux est négatif.
Tracé d’une droite
Vous souhaitez représenter manuellement une fonction affine \(f\) dont l’expression est \(f(x) = 2x - 3\) (ou toute autre droite ; par exemple, à partir de la classe de première, une tangente d’équation \(y = 2x - 3\)) dans un plan muni d’un repère.
Le plus simple est de commencer par placer l’ordonnée à l’origine. Ici, c’est -3. Donc vous vous positionnez sur l’axe des ordonnées et vous indiquez un point en -3.
Choisissez ensuite une valeur de \(x,\) légèrement éloigné de 0 car si les points sont trop rapprochés la droite risque d’avoir une pente un peu trop approximative si elle est tracée à la règle (pas de problème en revanche si vous utilisez un logiciel). N'optez pas non plus pour un point trop éloigné qui vous ferait du cadre ! Ici, nous choisissons \(x = 2.\) Donc \(f(2) = 2 \times 2 - 3 = 1.\) Le second point a pour coordonnées \((2\,;1).\)
Il ne vous reste qu’à relier les deux points à la règle. Attention à bien faire dépasser le trait de part et d’autre, il ne s’agit pas d’un segment de droite.
Bien sûr, si vous réalisez l'opération comme ci-dessus avec GeoGebra, il n’est pas nécessaire de relier deux points et vous pouvez directement entrer \(y = 2x - 3\) dans le champ de saisie.
Opération inverse
Si au contraire vous disposez du tracé et que vous cherchez l’équation de la droite ou de la fonction affine, il vous suffit d’identifier deux points pour trouver le coefficient directeur et de lire l’ordonnée à l’origine sur l’axe. Mais une lecture directe n’est pas toujours possible…
