Manipulation des valeurs absolues
Si vous souhaitez parfaire votre éducation en matière de valeur absolue, vous ne pouviez pas mieux tomber. Cette page vous initie en effet à cette opération simple mais riche d’applications, expression mathématique de la « positive attitude ». Si vous êtes en classe de première générale, dirigez-vous plutôt vers la fonction valeur absolue.
Valeur absolue
La valeur absolue renvoie la valeur positive d’un nombre ou d’une expression algébrique, indiqués pour l’occasion entre deux petits traits verticaux (ABSOLU par opposition à relatif). Elle est parfois appelée module, terme surtout utilisé pour désigner la distance (positive) entre l’origine et le point d’affixe \(z\) d’un nombre complexe (programme de terminale maths expertes). D’une façon plus générale, une distance est toujours une valeur absolue. Elle est la même entre \(x\) et \(y\) qu’entre \(y\) et \(x.\) En d’autres termes, \(|x - y|\) \(=\) \(|y - x|.\) Sur cette page, il sera davantage question de la manipulation des valeurs absolues que de leur interprétation en termes de distance.
Aucune difficulté pour déterminer la valeur absolue d’un réel. \(|3| = |- 3| = 3.\) S'il est positif, il est égal à sa propre valeur absolue mais s’il est négatif, il faut le multiplier par -1.
Donc, \(|x| = x\) si \(x > 0\) et \(|x| = -x\) si \(x < 0.\)
Une façon équivalente d’obtenir la valeur absolue d’un nombre est d'établir la racine carrée de son carré.
Inégalités triangulaires et propriétés
\(|x + y| \leqslant |x| + |y|\) et \(|x| - |y| \leqslant |x - y|\)
D’autres propriétés sont assez évidentes. Par exemple \(|x| × |y| = |x \times y|.\) Mais attention, la somme des valeurs absolues n'est pas toujours égale à la valeur absolue de la somme.
Opérations
Les inéquations avec valeur absolue permettent une bonne introduction aux subtilités de calcul.
Soit \(|x - | > 2.\) Le nombre 1 est un pivot sur lequel l’expression \(|x - 1|\) est nulle mais autour duquel \(x - 1\) devra ou non être multiplié par -1. Ainsi, si \(x > 1, |x - 1| = x - 1\) et les solutions sont \(I = ]3\,; +∞[.\) Mais si \(x < 1,\) alors \(|x - 1| = -x + 1\) et les solutions sont \(]-∞\,; -1[.\)
Voyons à présent une équation un peu moins simple : \(|x - 3| - |4 - x|\) \(=\) \(1\)
Étudions les différentes possibilités dans un tableau. Soit \(|x - 3|\) \(-\) \(|4 - x|\) \(-\) \(1\) \(=\) \(0.\) Les valeurs pivots sont 3 et 4. Le tableau se construit en lignes et se lit en colonnes.
- Si \(x \leqslant 3,\) on obtient \(-2 = 0\) ce qui est impossible.
- Si \(x \in ]3\,; 4[,\) on obtient l'expression \(6x - 8,\) qui ne peut pas non plus valoir zéro (fonction affine croissante comprise entre -2 et 0).
- En revanche, si \(x = 4,\) la solution est valide. \(|4 - 3| - |4 - 4| = 1.\) L'égalité est juste.
- Et au-delà de 4 ? On trouve 0 dans le tableau. Quel que soit \(x \leqslant 4,\) l’équation fonctionne.
Par exemple, \(|100 - 3| - |4 - 100|\) \(=\) \(97 - 96\) \(=\) \(1.\)
Donc, \(S = [4\,; +∞[\)
La fonction valeur absolue
Cette fonction est définie sur l’ensemble des réels. C’est une fonction linéaire par morceaux, continue, convexe et paire. Elle est dérivable partout sauf en zéro (la « courbe » présente ici un point anguleux). La dérivée est égale à -1 lorsque \(x\) est négatif et à 1 pour ses valeurs positives. Les limites en \(\pm \infty \) tendent vers \(+∞.\) La courbe représentative est illustrée en page de fonction valeur absolue.
Pour étudier une fonction qui comporte une ou des valeurs absolues, il faut retirer celle(s)-ci puis explorer les différents cas.
Exemple : à quoi peut bien ressembler la courbe représentative de la fonction \(f\) dont l'expression est la suivante ?
\(f(x)\) \(=\) \(|x - 2| + 2| x + 4| - |3 - x|\)
Réponse :
Il s’agit d’une fonction affine par morceaux dont la représentation apparaît sous vos yeux (réalisation sur SineQuaNon)…
Amusement : courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = |x^2 - 2x - 4|\)
On voit que la partie négative de la parabole est « repliée » en zone positive…
Voir aussi des représentations graphiques d'inégalités en page de voisinage et la programmation avec une calculatrice TI en page d'initiation aux instructions conditionnelles.
