Les fonctions polynomiales de degré 2
Les fonctions polynomiales du second degré (ou quadratiques, ou trinômes) sont enseignées à partir de la classe de première, après une introduction en seconde. Des exercices destinés aux élèves de première figurent d'ailleurs en pages exercices sur le second degré, dérivation d'une fonction du second degré et problèmes du second degré. Mais ici nous irons un peu plus loin…
Présentation
Sous sa forme développée, ce type de fonction se présente sous la forme \(f:x \mapsto ax^2 + bx + c.\) Derrière ces lettres se cachent les nombres réels \(a,\) \(b\) et \(c\) qui sont fixés tandis que \(x\) varie. Précisons que \(a\) est différent de 0 car si c’était le cas la fonction serait affine. D'ailleurs, une fonction polynomiale du second degré n’est autre qu’un produit de deux fonctions affines.
Comme toutes les fonctions polynomiales, celles du second degré sont partout continues et dérivables sur leur ensemble de définition qui est \(\mathbb{R}.\)
La courbe qui représente ce type de fonction est une parabole. On la définit comme la coupe d’un cône parallèlement à l’une de ses génératrices (comme ce n’est pas l’objet de ce site, nous vous invitons à jeter un coup d’œil sur l’article « cône » de Wikipédia si vous souhaitez en savoir davantage). Par exemple, la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\) se présente ainsi (réalisation avec SineQuaNon) :
Comme \(a\) est positif, la courbe admet un minimum. S’il avait été négatif, la parabole aurait été inversée, avec un maximum (fonction concave).
Cette fameuse parabole coupe éventuellement l’axe des abscisses, auquel cas la fonction n’est pas toujours de même signe. Les racines sont alors les abscisses des points de croisement avec l’axe (voir page trinôme et discriminant). On appelle discriminant le réel \(Δ = b^2 - 4ac.\) S’il est négatif, la courbe représentative de la fonction ne coupe jamais l’axe des abscisses. S’il est nul, la parabole atteint cet axe en un seul point qui représente donc un extremum et dont l’abscisse est \(-\frac{b}{2a}.\) Cette valeur est appelée racine double.
Si \(Δ > 0,\) il existe deux racines et leurs valeurs sont les suivantes :
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
La valeur de l’éventuelle racine unique est aussi celle de l’abscisse de l’extremum. S’il en existe deux, cette dernière se situe à égale distance puisque la fonction admet un axe de symétrie vertical.
Les trois coefficients ont leur rôle dans le tracé de la courbe : \(c\) la positionne seulement en hauteur, \(b\) la situe horizontalement et verticalement et \(a\) agit sur l’écartement de la parabole, d’autant plus évasée que ce coefficient est petit (illustrations en page de translations).
La forme factorisée de la fonction a pour expression \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) ou, s’il n’existe qu’une racine \(x_0,\) \(f(x) = a(x - 0)^2.\) C'est donc par la grâce du discriminant que l'on passe d'une forme développée d'un trinôme à sa forme factorisée. Mentionnons une troisième écriture, celle de la forme canonique :
\(f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]\)
À l’instar des autres fonctions polynomiales, celles du second degré admettent à l’infini des limites infinies.
La dérivée a pour expression \(f’(x) = 2ax + b\) tandis que les primitives s’écrivent ainsi :
\(F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + k\) avec \(k\) constante.
La recherche des deux extremums éventuels d’une fonction polynomiale du troisième degré nécessite donc la détermination des racines de la fonction du second degré qui en est la dérivée.
Exemple
Étude d’une fonction, définie sur \(\mathbb{R}\) (niveau terminale)
\(f:x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{2}x + 1\)
Il est évident que cette fonction est continue et qu’elle n’est ni paire ni impaire. Ses limites à l’infini sont celles du terme du plus haut degré qui est un carré (donc positif) affecté d’un coefficient négatif. Donc, la fonction émerge des sinistres profondeurs de moins l’infini et elle y retourne. Sa dérivée s’écrit \(f'(x) = -x + \sqrt{2}.\)
Donc, la courbe admet un maximum dont l’abscisse est la racine carrée de 2. Quelle est son ordonnée ?
\(f(\sqrt{2})\) \(=\) \(-\frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1\) \(=\) \(2\)
Récapitulons toutes ces trouvailles dans un double tableau, de signes de la dérivée et de variations de la fonction :
Quelles sont les valeurs pour lesquelles la fonction est nulle ? On calcule le discriminant, qui est égal à 4, d’où les résultats suivants : \(x_1 = \sqrt{2} - 2\) et \(x_2 = \sqrt{2} + 2\)
Si l’on trace à la courbe manuellement, nous sommes donc en mesure de placer trois points. Le tracé à l’aide d’un logiciel (ici, GeoGebra), s’affranchit de cette petite formalité. On obtient ceci :
En pratique, une telle fonction a pu être définie statistiquement, grâce à une régression sur fonction du second degré sur des observations. On ne retient alors qu’un intervalle réduit qui ne comprend même pas toujours l’extremum…
