Primitives de fonctions polynomiales et usuelles
Vous êtes en terminale générale et vous venez d’aborder un cours sur les primitives. Cette gymnastique intellectuelle qui consiste à dériver à l’envers vous semble compliquée. Vous n’avez pas tort, il s’agit de l’un des points les plus délicats du programme. Heureusement pour vous, voici quelques astuces pour déterminer certaines primitives, en l’occurrence celles de fonctions usuelles et de fonctions polynomiales. Quant aux fonctions plus complexes, vous avez peu de risque de devoir chercher leurs primitives à l’épreuve du bac (pour celles-ci, l’énoncé vous donnera le résultat qu’il suffira de dériver pour montrer que c’était bien une primitive).
Ci-dessous, conformément à l’usage, une primitive sera notée en majuscule.
Primitives des fonctions constantes
Soit la fonction \(f: x \mapsto a,\) alors \(F(x) = ax + c\) sur le même ensemble de définition (soit \(\mathbb{R}\), sauf précision contraire).
Pour toute la suite de cette page, le terme \(c\) est une constante réelle (qui donnera évidemment 0 lorsqu’elle est dérivée).
Fonctions du premier degré
Primitives des fonctions linéaires
Soit \(f: x \mapsto ax,\) alors \(F(x) = \frac{1}{2}ax^2 + c.\)
Primitives des fonctions affines
Soit \(f: x \mapsto ax + b,\) alors \(F(x) = \frac{1}{2}ax^2 + bx + c.\)
Primitives des fonctions polynomiales
Vous devez vous souvenir que pour dériver \(x^2,\) il faut ôter une puissance et multiplier le tout par \(n\) (voir ci-dessus la fonction carré). Par exemple, si \(f(x) = 5x^3,\) alors \(f’(x)\) \(=\) \(3 × 5x^2,\) donc \(f’(x) = 15x^2.\)
L’établissement d’une primitive consiste à faire l’opération inverse. Il faut ajouter une puissance (ça, c’est facile) et multiplier par l’inverse de la puissance ainsi obtenue (voir ci-dessus la fonction carré). Ainsi, si \(f(x) = x^n,\) les primitives s'écrivent sous la forme suivante :
\(F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c\)
Lorsqu’on n’est pas sûr d’avoir obtenu la bonne primitive, il est conseillé de la dériver pour s’assurer que l’on retombe bien sur la fonction de l’énoncé :
\(F'(x) = \frac{n+1}{n+1}x^{n+1-1} = x^n\)
Le cas le plus simple est celui de la fonction carré :
Soit \(f: x \mapsto x^2,\) alors \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + c\)
Exercice
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)\) \(=\) \(x^4 - 4x^3 + \frac{5}{3}x^2 + 10x - 5\)
Déterminer les primitives de \(g.\)
Éléments de correction
\(G(x) =\) \(\frac{1}{5}x^5 - \frac{4}{4}x^4 + \frac{5}{3 \times 3}x^3 + \frac{10}{2}x^2 - 5x + c\)
\(G(x) =\) \(\frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{5x^3}{9} + 5x^2 - 5x + c\)
Primitives utilisant la fonction inverse
Vous savez que la dérivée de la fonction inverse \(f: x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*.\)
Soit \(f(x) = \frac{1}{x^2},\) alors \(F(x) = -\frac{1}{x} + c.\)
Par ailleurs, une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien.
Exemple. Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par \(h(x) = x^4 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\)
Déterminons les primitives de \(h.\)
\(H(x) = \frac{x^5}{5} - 2 \ln x - \frac{3}{x} + c\)
Voir la page d'exercices sur les primitives ou, plus faciles, les exercices simples sur primitives.
Primitive de la fonction exponentielle
Dans la mesure où la dérivée de la fonction exponentielle n’est autre qu’elle-même, une primitive est elle aussi la fonction exponentielle.
Enfin, mentionnons une primitive souvent rencontrée en terminale : soit \(f(x) = u’(x)e^{u(x)},\) alors \(F(x) = e^{u(x)}.\)
Exercice
Soit la fonction \(p\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(p(x) = (2x + 1)\exp (x^2 + x)\)
Déterminer les primitives de \(p.\)
Corrigé
\(P(x) = \exp (x^2 + x) + c\)
Remarquez qu’il faut savoir déterminer une primitive d’une fonction polynomiale pour réaliser cet exercice.
Vous pouvez compléter votre entraînement en page d'exercices sur primitives de fonctions exponentielles.
Primitive utilisant une racine carrée
Là encore, le programme de terminale n’est pas trop méchant et vous devrez juste obtenir la racine carrée à partir de sa dérivée, éventuellement multipliée par un réel.
Exercice
Soit la fonction \(q\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par \(q(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\)
Déterminer les primitives de \(q.\)
Corrigé
\(Q(x) = 2\sqrt{x} + c\)
Primitives des fonctions trigonométriques
Voir la page d'exercices sur les primitives de fonctions trigonométriques.
