Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Quelques primitives de fonctions usuelles

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Primitives de fonctions polynomiales et usuelles

Vous êtes en terminale ES et vous venez d’aborder un cours sur les primitives. Cette gymnastique intellectuelle qui consiste à dériver à l’envers vous semble compliquée. Vous n’avez pas tort, il s’agit de l’un des points les plus délicats du programme. Heureusement pour vous, voici quelques astuces pour déterminer certaines primitives, en l’occurrence celles de fonctions usuelles et de fonctions polynomiales. Quant aux fonctions plus complexes, vous avez peu de risque de devoir chercher leurs primitives à l’épreuve du bac (pour celles-ci, l’énoncé vous donnera le résultat qu’il suffira de dériver pour montrer que c’était bien une primitive).

Les élèves de terminale S peuvent aussi tirer profit de cette page pour acquérir des automatismes.

Ci-dessous, conformément à l’usage, une primitive sera notée en majuscule.

Primitives des fonctions constantes

Soit f(x) = a, alors F(x) = ax + c sur le même ensemble de définition (soit R, sauf précision contraire).

Pour toute la suite de cette page, c est une constante réelle (qui donnera évidemment 0 lorsqu’elle est dérivée : il n’en reste aucune trace si l’on dérive F(x) pour obtenir f(x). Mais son oubli est hélas devenu courant en terminale ES et tous les manuels ne la mentionnent pas).

Primitives des fonctions linéaires

Soit f(x) = ax, alors F(x) = ½ ax² + c.

Primitives des fonctions affines

Soit f(x) = ax + b, alors F(x) = ½ ax² + bx + c.

Primitive de la fonction carrée

Soit f(x) = , alors F(x) = ⅓ x³ + c

Primitives des fonctions polynomiales

Vous devez vous souvenir que pour dériver xⁿ, il faut ôter une puissance et multiplier le tout par n (voir ci-dessus la fonction carré). Par exemple, si f(x) = 5x³ , alors f’(x) = 3 × 5, donc f’(x) = 15.

L’établissement d’une primitive consiste à faire l’opération inverse. Il faut ajouter une puissance (ça, c’est facile) et multiplier par l’inverse de la puissance ainsi obtenue (voir ci-dessus la fonction carré). Ainsi, si f(x) = xⁿ, les primitives s'écrivent sous la forme :

primitive

Lorsqu’on n’est pas sûr d’avoir obtenu la bonne primitive, il est conseillé de la dériver pour s’assurer que l’on retombe bien sur la fonction de l’énoncé :

vérification

Exercice

Soit la fonction g définie sur R par :

polynomiale

Déterminer les primitives de g.

Éléments de correction

étape intermédiaire

G(x)

Primitives utilisant la fonction inverse

Vous savez que la dérivée de la fonction inverse (1 / x) est (-1 / x²) sur R*.

Soit f(x) = 1 / x², alors F(x) = -1 / x

Par ailleurs, une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien.

Exercice récapitulatif

Soit la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par :

exercice récapitulatif

Déterminer les primitives de h.

Corrigé

H(x)

Primitive de la fonction exponentielle

Dans la mesure où la dérivée de la fonction exponentielle n’est autre qu’elle-même, une primitive est elle aussi la fonction exponentielle.

Enfin, mentionnons une primitive souvent rencontrée en terminale ES : soit f(x) = u’(x)eu(x), alors F(x) = eu(x).

Exercice

Soit la fonction p définie sur R par :

p(x)

Déterminer les primitives de p.

Corrigé

P(x)

Remarquez qu’il faut savoir déterminer une primitive d’une fonction polynomiale pour réaliser cet exercice.

Vous pouvez vous entraîner en page exercices sur primitives de fonctions exponentielles.

Primitive utilisant une racine carrée

Là encore, le programme de terminale n’est pas trop méchant et vous devrez juste obtenir la racine carrée à partir de sa dérivée, éventuellement multipliée par un réel.

Exercice

Soit la fonction q définie sur ]0 ; +∞[ par :

q(x)

Déterminer les primitives de q.

Corrigé

Q(x)

 

dinosaure

 

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