Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Antécédents et images

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Antécédents, images et courbe représentative

La présentation que vous avez le plaisir d’avoir sous les yeux est prioritairement destinée aux élèves de seconde (ou de première STMG puisque ce chapitre est revu). Il s’agit de précisions sur les fonctions, avec bien sûr des exemples pour en faciliter la digestion. Ce point du programme est d'ailleurs enseigné en début d'année scolaire… (NB: attention, les liens hypertextes ne dirigent pas forcément vers des pages de niveau seconde).

Une fonction numérique est une RELATION entre un ensemble de nombres et un autre. Par exemple, cette relation peut consister à ajouter 1. Dans ce cas, 1 est « relié » à 2, etc. : 2,5 l’est à 3,5, -100 à -99, etc. Les fonctions sont notées par une lettre. C'est d’ailleurs souvent f.

Une fonction n'est pas toujours définie pour tous les réels. Elle l'est sur son ensemble de définition.

Les valeurs pour lesquelles on cherche à en associer une autre sont presque toujours notées x (ou n s'il s'agit d'entiers naturels). x est la variable.

À chaque valeur prise par cette variable x correspond un nombre. On associe donc à chaque valeur de x une image, comme si elle se regardait dans un miroir. L’image de x par f s’écrit f(x). On utilise cette notation pour tout x mais aussi pour une valeur particulière : ainsi, l'image de 2 est f(2).

Certaines valeurs de x peuvent ne pas avoir d’image. D’autres en ont une mais jamais deux ou plus. Vous l'avez deviné, celles qui en admettent une constituent l'ensemble de définition de la fonction. Prenons par exemple la fonction racine carrée : 4 a pour image 2 mais -4 n’a pas d’image puisque la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

Si f(x) = y, x est nommé antécédent de y. Étymologiquement, un antécédent est celui qui précède. Un même nombre peut avoir plusieurs antécédents par f. Exemple de la fonction qui consiste à multiplier par 0 : dans ce cas, 0 a une infinité d'antécédents puisque chaque réel a pour image 0.

Ces deux termes, image et antécédent, sont suffisamment parlants pour qu’on ne les confonde pas.

Calculs

Si l'on dispose d'une équation de f, on calcule l’image d’un nombre x en remplaçant la variable par sa valeur. Si par exemple on a f(x) = x + 7 et que l’on cherche l’image de 3, alors f(3) = 3 + 7 = 10.

La recherche du ou des antécédents nécessite la résolution d'une équation Soit f(x) = x + 7 ; on recherche le ou les antécédents de 12. Il faut alors poser : 12 = x + 7, d’où x = 5. Dans cet exemple, 12 a un seul antécédent.

Pour s'entraîner là-dessus, rien de tel que se rendre en page exercice sur les liens entre une fonction et sa courbe représentative (pour élèves de seconde).

Courbes

Poursuivons. Si les fonctions sont représentées graphiquement, cela met en lumière la relation étudiée. On utilise pour celà un plan normé, c’est-à-dire basé sur deux axes gradués, celui des abscisses et celui des ordonnées. Le plus simple consiste à les représenter de façon orthogonale. Du coup, l’un est horizontal (valeurs de x) et l’autre vertical (valeurs de y). La norme de l’axe horizontal est le vecteur i (1 ; 0) et celle de l’axe vertical est le vecteur j (0 ; 1).

Ainsi, pour une valeur donnée de x correspond (éventuellement) un point de la courbe et on lit sur l'axe des ordonnées la valeur de son image. Les coordonnées d'un point permettent donc de connaître la valeur d'une image ou d'un antécédent. Par exemple, si l'on sait que la courbe ci-dessous passe par le point (0 ; -3), alors on sait que l'image de 0 est -3 et qu'un antécédent de -3 est 0.

courbe

Dans la mesure où une valeur de x ne peut avoir plusieurs images, il est impossible d'avoir une courbe qui revient sur ses pas. Celle qui est illustrée ci-dessous ne représente pas une fonction :

pas fonction

Une courbe est souvent tracée à partir de l'équation d'une fonction. Exemple : soit la fonction du second degré f(x) = x²  x + 1 définie sur l’intervalle [-2 ; 2]. Sa courbe représentative figure ci-dessous (réalisation sur WxGéométrie).

exemple de courbe

On voit par exemple qu'elle se termine au point (2 ; 3). Pourquoi ce point fait-il partie de la courbe ? Si x = 2, on a bien f(2) = 4 – 2 + 1 = 3. Dit autrement, 3 est l’image de 2 par f. Ou encore, un antécédent de 3 par f est 2. Mais on remarque aussi que 3 possède un autre antécédent (qui est -1).

Voici un autre exemple, celui d'une fonction qui n’a pas d’expression algébrique. Il s’agit de l’évolution du prix de l’or entre 1790 et 2010 (source : www.france-inflation.com). J'aurais aussi bien pu choisir l'évolution du prix d'une action ou d'un indice boursier. Si l'on connaissait une expression algébrique d'une telle fonction, cela signifierait que l'on pourrait prévoir les cours de bourse et qu'il serait simple de faire fortune !

La valeur 0 ne figure pas sur l’axe des abscisses et il n’y a pas de valeurs négatives mais ça n’a pas d’importance…

cours de l'or

Bon, je ne mets pas cette courbe pour vous inciter à acheter de l'or mais tout de même, ça vaut le coup...

 

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