Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La proportionnalité

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Proportionnalité, échelle, pourcentage

Notion très « basique », la proportionnalité est abordée dès la classe de sixième et se poursuit au cours des années suivantes. Intéressons-nous aux règles de calcul et à quelques applications…

Il y a proportionnalité entre deux grandeurs lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant celles de l'autre par un même nombre.

Soit le tableau suivant :

Proportionnalité
Grandeur 1 3 4,5 12
Grandeur 2 8 12 32

Le coefficient de proportionnalité est le nombre que l'on multiplie aux valeurs de la première ligne pour obtenir celles de la seconde. Ici, il s’agit de 8 / 3. On n’utilise pas de valeur approchée.

Si l’on sait qu’il y a proportionnalité, il suffit d’une seule colonne pour connaître le coefficient. On peut donc déterminer la valeur d'une grandeur à partir de la valeur correspondante de l'autre grandeur. C’est le calcul d’une quatrième proportionnelle. La technique est appelée règle de trois :

exemple

10 × (7 / 4) = 17,5

Vous avez compris l'astuce : pour passer de 4 à 7, il faut multiplier 4 par 7 / 4.

Et inversement…

exemple 2

35 × (4 / 7) = 20

Les applications de la proportionnalité sont infinies. Par exemple, si un plan est à l’échelle 1 / 8 000 et que, sur ce plan, une rue mesure 4 cm, alors dans la réalité elle mesure…

échelle

32 000 cm, c’est-à-dire 320 mètres.

Ce nombre peut aussi être obtenu en posant une équation. C’est le fameux produit en croix.

Ainsi, 4 × 8 000 = 1 × x

Même logique pour le pourcentage. Il s’agit d’appliquer un coefficient de proportionnalité au nombre 100. Exemple : quel pourcentage représente 25 par rapport à 80 ?

pourcentage

25 × 100 = 80 × x
⇔ x = 2500 / 80 = 31,25.

25 représente 31,25 % de 80.

Le mouvement d’un mobile est appelé mouvement uniforme si le temps t du parcours est proportionnel à la distance d parcourue. Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la durée à la distance est nommé vitesse moyenne (v). Ainsi, d = v × t.

En géométrie, une aire n’est pas proportionnelle à une longueur. Par exemple, un carré de x de côté présente une surface de . Il n’y a pas de coefficient de proportionnalité. En revanche, son périmètre est égal à 4x. Il y a bien proportionnalité, avec un coefficient de 4.

Graphiquement, on peut représenter une proportionnalité. À partir d’un tableau, on peut placer des points dans un plan repéré dont les nombres de la première ligne sont les abscisses et ceux de la seconde ligne sont les ordonnées. On remarque que ces points sont toujours parfaitement alignés. Ils sont également alignés avec l’origine puisque quel que soit le coefficient de proportionnalité appliqué à zéro, on obtient forcément zéro.

Ces points peuvent être reliés par une droite (ou une demi-droite) qui représente une proportionnalité donnée pour toutes les valeurs possibles.

Cette relation est nommée fonction linéaire.

Exemple :

fonction linéaire

L’équation de la fonction est f(x) = 1,4x

Ci-dessous, réalisation sur GeoGebra :

fonction linéaire

Exercice

Le prix de la location d’un matériel est constitué d’une partie fixe de 40 euros (quelle que soit la durée de location) à laquelle s’ajoute 50 euros par jour. Combien coûte la location du matériel pour 7 jours ? Et pour 14 jours ? Le prix est-il proportionnel à la durée de location ?

Corrigé

Pour 7 jours, la location coûte 40 + (7 × 50) soit 390 €.

Pour 14 jours, la location coûte 40 + (14 × 50) = 740 €.

Dans le premier cas, le coefficient de proportionnalité est de 390 / 7 pour passer de la durée de location au prix (soit environ 55,7). Dans le second cas, le coefficient est de 740 / 15, soit 148 / 3 (environ 49,3). Le prix n’est donc pas proportionnel à la durée de la location.

 

vitesse moyenne

 

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