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(et fondements mathématiques)

La fonction valeur absolue

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Présentation et exercices sur la valeur absolue

L’étude de la fonction valeur absolue fait partie du programme de première S. L’étude en elle-même n’a rien de difficile mais il faut se méfier des applications. C’est pourquoi deux exercices complètent la présentation de la fonction.

La valeur absolue d’un réel x est le nombre noté |x|. Il est égal à x si celui-ci est positif et à –x s’il est négatif. Par conséquent, une valeur absolue est toujours positive (ou nulle). Par exemple, |3| = 3 et |-3| = 3. Il est également évident que si |x| = |y|, alors x = y ou x = -y ou encore que |x| × |y| = |xy|. De même…

valeur absolue

Ces chères valeurs absolues squattent aussi un chapitre de géométrie. En effet, une distance est forcément positive.

Inégalité triangulaire

Une propriété intéressante de la valeur absolue est l’inégalité triangulaire :

|x + y| ≤ |x| + |y|

Si x et y sont de même signe, il y a égalité. En revanche, s’ils sont de signe contraire, il y a inégalité stricte. Soit par exemple x = 2 et y = -3. Nous avons |x + y| = 1 alors que |x| + |y| = 5.

Là aussi, on retrouve cette propriété lorsqu’on étudie les distances.

Fonction valeur absolue

La fonction est définie sur R par f(x) = |x|. C’est une fonction paire.

Sens de variation : strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ et strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Tableau de variation :

fonction valeur absolue

Représentation graphique obtenue par une calculatrice en ligne gratuite (grapheur.cours-de-math.eu) :

valeur absolue

Dérivée : lorsqu’un élève de première aborde la fonction valeur absolue, il ignore le plus souvent ce qu’est une dérivée (quoique cette ignorance est très provisoire !).

f(x) = |x|, alors pour tout x ∈ ]-∞ ; 0[, f’(x) = -1 et pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ f’(x) = 1. En 0, f n’est pas dérivable.

Exercice 1 (équation)

Résoudre algébriquement l’équation |x + 2| = |x – 4|

Exercice 2

Soit f une fonction définie sur R par f(x) = |x + 1| + |-x + 3|

Compléter le tableau suivant en indiquant les expressions de |x + 1| et de |-x + 3| sans valeurs absolues.

tableau nu

Dresser le tableau de variation de la fonction puis tracer la courbe représentative de f.

Résoudre l’inéquation f(x) < 6 puis vérifier le résultat sur le graphe.

Corrigé 1

Pour résoudre cette équation, il faut se souvenir que si |x| = |y|, alors x = y ou x = -y.

Donc (x + 2) = (x – 4) ou (x + 2) = (-x + 4)

Il est évident que la première équation n’a pas de solution. En revanche, la seconde équation en a une : x = 1. Donc il existe une unique solution S = {1}.

Corrigé 2

corrigé

On constate alors que f est une fonction affine par morceaux, d’abord décroissante (coefficient directeur négatif : -2), puis constante, puis croissante.

tableau de variation

Résolvons l’inéquation |x + 1| + |-x + 3| < 6. Pour cela, rappelons les expressions de f.

3 expressions

-2x + 2 < 6 équivaut à x > -2, donc l’intervalle ]-2 ; -1] convient.

L’intervalle [-1 ; 3] convient également puisque f(x) = 4

2x – 2 < 6 équivaut à x < 4, donc l’intervalle [3 ; 4[ convient aussi.

Par conséquent, S = ]-2 ; 4[

illustration

Nous constatons bien sur le graphe que la courbe est au-dessous de y = 6 pour les valeurs de x comprises entre -2 et 4.

 

absolu

 

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