Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une initiation aux fonctions

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Fonctions et tableaux de valeurs

Cette page est destinée aux élèves de seconde. Dans les programmes français, un premier aperçu des fonctions est présenté en classe de troisième mais c’est surtout au cours de l’année suivante qu’elles font une entrée fracassante dans la scolarité.

Pour une fois sur ce site, respectons la méthode pédagogique préconisée par l’Éducation nationale : une « activité » permet d’introduire le cours.

Activité de marché

Ahmed vend des œufs sur le marché : 2 dinars la douzaine. Il doit payer son emplacement 20 dinars. Son fils l’accompagne. Comme il est inutile d’être deux pour vendre des œufs, celui-ci s’occupe en programmant sa calculatrice. Il cherche à connaître le bénéfice réalisé en fonction du nombre de douzaines d’œufs vendus. Les poules ayant montré de la bonne volonté, il y a 50 douzaines d’œufs à écouler.

Par exemple, si son père ne vend que trois douzaines, son chiffre d’affaire est de 6 dinars mais comme l’emplacement en coûte 20, il ne réalise aucun bénéfice. Il enregistre même une perte de 14 dinars.

Donc, la programmation consiste à multiplier le nombre de douzaines vendues par 2 puis à soustraire 20 du total.

À combien s’établit le bénéfice si Ahmed vend tout ? Réponse : (50 × 2) – 20 = 80 dinars.

Et si la quantité est de x douzaines ? Réponse : 2x – 20.

Nommons f ce programme et f(x) le résultat. Nous avons f(x) = 2x – 20.

Mathématiquement, f est une fonction et f(x)= 2x – 20 est son équation. f n’est pas définie pour n’importe quelle valeur de x puisqu’il est impossible de vendre un nombre négatif de douzaines d’œufs et qu’il est tout aussi illusoire d’en vendre plus de cinquante.

Dès lors, il est facile de calculer un bénéfice : il suffit de remplacer x par le nombre de son choix, compris entre 0 et 50.

Définitions

Soit D une partie de R (D est en général un intervalle ou une réunion d’intervalles mais il peut aussi être un ensemble d’entiers naturels, comme ci-dessus). Soit x un nombre appartenant à D (réel, entier…).

Une fonction f est un outil mathématique qui associe à tout x de D un unique réel noté f(x).

D est appelé l’ensemble de définition de f. Notons-le Df. Quant à x, c’est une variable.

Cette association s’écrit ainsi :

f

x => f(x)

Soit le réel y tel que f(x) = y. On appelle y l’image de x par f et on dit que x est l’antécédent de y. L’image de x est unique mais y peut avoir plusieurs antécédents.

On peut représenter graphiquement f, sur D ou sur une partie de D (il est évident que si D est infini, la représentation ne sera pas complète !). Cette représentation est nommée courbe représentative (Cf). C’est l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) pour y = f(x).

x est l’abscisse de M et y est son ordonnée.

Attention donc à ne pas confondre f, f(x) et (Cf) ! C’est une rigueur qu’il n’est pas facile d’acquérir ! Ne vous étonnez pas non plus si l’on vous présente une droite comme étant une « courbe » ! (en revanche, si vous êtes en présence d’une suite de points espacés parce que f est définie sur N, comme c’est le cas avec les œufs d’Ahmed, appelez plutôt ça une « représentation graphique » car le terme « courbe » serait franchement ridicule).

Modes de définition

Une fonction est définie de plusieurs façons possibles. Les plus habituelles sont le tableau de valeurs, la représentation graphique et surtout l’expression algébrique.

Le tableau de valeurs n’est guère utilisé en cours de mathématiques après la seconde mais on le rencontre dans la vie courante ou dans d’autres cours (même s’il n’est pas présenté comme définissant une fonction !). Il ne comporte que deux lignes, l’une pour la variable x et l’autre pour son image f(x).

Son inconvénient majeur est de ne pas montrer toutes les valeurs de x lorsque la fonction est définie dans R puisque, même sur un intervalle très petit, elles sont infinies.

Soit le tableau suivant, x étant un réel et D étant l’intervalle [-2 ; 3] :

x -2 -1 0 1 2 3
f(x) -3 -1 1 3 5 7

À quoi est égal f(1,5) ? Si l’on ne dispose que de ce tableau, on ne peut pas le savoir. On sait que f(1) = 3 et f(2) = 5 mais ce n’est pas pour autant que f(1,5) est forcément égal à 4. f(1,5) pourrait tout aussi bien être égal à 100.

La courbe donne une bonne idée des images par f de chaque valeur de la variable mais il est impossible de lire les nombres exacts sur un graphe. Voir les pages antécédents, images et courbes et tracé de courbe avec une calculatrice TI.

En revanche, l’expression algébrique est d’une précision parfaite. Si l’on pose f(x) = 2x + 1 sur [-2 ; 3] on peut calculer n’importe quelle image de x sur cet intervalle. C’est cette expression qui a permis d’établir le tableau de valeurs ci-dessus. En l’occurrence, f(1,5) est bel et bien égal à 4.

Souvent, la courbe est tracée à partir de l’équation de la fonction (voir la page d'exercice liens entre fonction et courbe). Mais si l’on quitte un instant les maths pour se plonger dans les graphiques vus dans la presse, on trouve des fonctions  qui ne sont définies que par un tableau de valeurs ou par une courbe (ou les deux). Voir par exemple les courbes de la page chômage ou le tableau de la page demande. Ce sont bien des fonctions bien qu’on ne les présente pas comme telles.

Vous aurez souvent à réaliser des exercices de lecture graphique pour tester votre logique mais ils ne donneront pas lieu à poser des calculs (voir pour commencer les résolutions graphiques d'équations).

Dernière remarque à propos des équations de fonctions. Il arrive souvent qu’une même fonction ait plusieurs expressions algébriques. Celles-ci sont évidemment équivalentes mais il faut savoir utiliser l’expression la plus adaptée à la question posée.

Prenons par exemple f(x) = (x + 1)² – 9 définie sur R.

On peut factoriser cette expression grâce à une identité remarquable.

f(x) = [(x + 1) – 3][(x + 1) + 3]
f(x) = (x – 2)(x + 4)

Il est également possible d’obtenir une forme développée.

f(x) =  + 4x – 2x – 8
f(x) =  + 2x – 8

Il est évident que si vous entrez ces trois expressions dans votre calculatrice comme s’il s’agissait de trois fonctions différentes, vous n’obtiendrez qu’une seule courbe. Vous en saurez plus en page expressions des fonctions du second degré.

Problème : voir la page arbelos.

 

tableau de valeur

 

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