Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les suites arithmétiques

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suites arithmétiques d'ordre 1

Ô vieillesse ennemie ! À chaque anniversaire, nous prenons un an de plus ! Pauvres victimes d’une suite arithmétique que nous sommes !

anniversaire

La suite arithmétique est la plus simple des suites définies. Elle décrit une situation où l’on ajoute (ou l’on ôte) la même valeur à chaque rang. Après un bref rappel théorique, cette page présente quelques exercices qui peuvent être proposés en classe de première ES, puis deux autres qui s’insèrent davantage dans un programme de première S (cette page complète d'ailleurs la page d'initiation aux suites, destinée aux élèves de première). Si vous êtes en première STMG ou si cette page vous semble trop abstraite, voyez la page suites arithmétiques avec Excel.

Une suite arithmétique peut se présenter de deux façons. La première est une formule de récurrence : pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le réel r est la raison. C’est la technique employée sur tableur, outil idéal pour connaître tous les premiers termes d’une suite par simple cliquer-glisser (voir corrigé de l’exercice 1.1 ci-dessous). On peut aussi entrer une formule de récurrence sur une calculatrice (Cf. calculatrices et suites arithmétiques).

L’autre présentation est une formule explicite, plus pratique pour connaître directement un énième terme. En général : un = u0 + nr (pas au programme de première STMG mais de terminale STMG).

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule la différence un+1 – un quel que soit n. Si le résultat est un nombre, c’est OK (exercice 1.6). Mais s’il dépend de n, c’est raté.

Lorsque la raison est positive, la suite est croissante et divergente. Sa limite à l’infini est plus l’infini. Évidemment, si la raison est négative, la suite est décroissante et sa limite est moins l’infini.

Tout terme (sauf le premier) est la moyenne entre son précédent et son suivant. La somme des n + 1 premiers termes de la suite est aussi une simple moyenne entre le premier et le dernier terme, multiplié par le nombre de termes (note : les sommes de premiers termes figurent au programme de première S et de terminale ES) :

somme

Bien sûr, si le premier terme est u1 et non u0, il faut modifier la formule en conséquence (Cf. exercice 2.1 et page somme des premiers entiers). Formule qui s’adapte d'ailleurs quels que soient les rangs q et p (q > p) :

somme

On peut déterminer graphiquement le terme initial et la raison d’une suite arithmétique, la représentation graphique étant une simple droite.

Première série d’exercices

1.1- Soit la suite arithmétique (un) définie sur N de premier terme u0 = 2 et de raison r = 6. Calculer u10.

1.2- Calculer la raison r de la suite arithmétique définie sur N dont on connaît u9 = 22 et u1 = 2.

1.3- Machin place 100 € à intérêts simples de 2 %. Ensuite, il n’apporte plus aucun capital. De combien dispose-t-il n années plus tard ?

1.4- En 2010, le village A s’enorgueillit de 200 habitants et à partir de cette date de 15 habitants supplémentaires chaque année. Le village B possède 420 habitants en 2010 mais en perd 10 par an. À partir de quelle année A sera-t-il toujours plus peuplé que B ?

1.5- Soit une suite arithmétique définie sur N dont on connaît u8 = 5 et u20 = 250. Trouver u0 et la raison r.

1.6- La suite (un) définie sur N par un = 3n + 2 est-elle arithmétique ?

Corrigés

1.1- u10 = u0 + nr = 2 + (10 × 6) = 62. Sur tableur, on entre 2 et, dans la cellule située au-dessous, la référence de la cellule du dessus + 6 (un 8 s'affiche). C’est cette seconde cellule qu'il faut faire glisser vers le bas (le tableur recopie alors la formule jusqu'à ce que l'on lâche le bouton de la souris) pour que les termes de la suite se présentent les uns sous les autres.

1.2- u9 – u1 = 8r. Donc (22 – 2) = 8r et r = 2,5

1.3- Les intérêts s’élèvent à 2 €. Comme ils sont simples, seuls les 100 € produisent chaque année 2 € d’intérêts. Au terme de n années, le capital s’élèvera à 100 + 2n.

1.4- On peut traduire ce problème simple en langage de suites. Pour quel rang n la valeur de la suite (An) définie par An = 200 + 15n sera-t-elle supérieure à la suite (Bn) définie par Bn = 420 – 10n ?

200 + 15n > 420 – 10n. Ceci se simplifie en 25n > 220 donc n > 8,8 (soit fin 2018). Selon l’énoncé, il faut que A soit plus peuplé sur l’année entière, qui est donc 2019.

1.5-

système

Résolvons ce système d’équations par substitution. (5 – 8r) + 20r = 250, d’où r = 245 / 12. En remplaçant, on trouve u0 = -475 3.

1.6- un+1 = 3(n + 1) + 2. Donc un+1 – un = 3n + 3 + 2 – 3n – 2 = 3. La suite est arithmétique et sa raison est 3.

NB : il ne faut pas confondre cette expression avec un+1 = aun + b qui est celle d’une suite arithmético-géométrique.

Seconde série d’exercices (première S)

2.1- Le dixième terme d’une suite arithmétique (un) de raison r = 5 est égal à 40. Calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite.

2.2- Trouver trois nombres pairs « consécutifs » dont la somme est égale à 342.

Corrigés

2.1- Si u10 = 40, u1 = 40 – (9 × 5) = -5 (il est inutile de remonter jusqu’à u0). Quant à u20, il est égal à 40 + (10 × 5) = 90.

Donc la somme des vingt premiers termes est :

S20

2.2- La procédure consiste d’abord à donner une expression explicite de cette suite évidemment arithmétique de raison 2 puis à définir notre inconnue.

La suite des nombres pairs s’écrit un = 2n. On cherche le premier rang p des trois termes à découvrir.

Donc, up = 2pup+1 = 2+ 2 et up+2 = 2p + 4.

La suite des trois nombres pairs peut s’écrire en fonction de p.

2p + 2p + 2 + 2p + 4 = 342, donc 6p = 336 et p = 56. Donc up = 2 × 56 = 112.

Les trois nombres pairs consécutifs dont la somme vaut 342 sont 112, 114 et 116.

 

raison arithm

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés