Les courbes de fonctions

Courbes représentatives de fonctions

On fait leur connaissance au collège. Pourtant, rares sont les enseignants qui demandent aux élèves de les tracer puisque cet exercice ne fait pas partie des capacités attendues (sauf si on peut le faire à la règle). Les courbes sont la représentation graphique des fonctions à une variable. Mais attention à ne pas confondre ces deux notions, une courbe n’est pas une fonction !

Le contenu de cette page est adapté au programme de seconde.

 

Définition

Soit une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D.\) Dans un repère (en principe orthogonal), on appelle courbe représentative de \(f\) l’ensemble des points du plan dont les coordonnées \((x\, ;y)\) vérifient la relation \(y = f(x).\)

En général, on nomme cette courbe \({\mathscr{C}_f}\) (avec un C écrit en cursive).

On appelle équation de la courbe \({\mathscr{C}_f}\) l’égalité \(y = f(x).\)

 

Remarques

Première remarque, une courbe n’est donc pas toujours… courbe ! Si par exemple la fonction est constante, affine ou linéaire, sa courbe représentative est droite.

Autre curiosité à avoir en tête, la plupart des courbes se définissent comme étant des ensembles infinis de points. Ce n’est pas une évidence pour tout le monde…

La courbe ne peut être tracée que sur l’ensemble de définition de la fonction. Par exemple, vous savez que la fonction inverse n’est pas définie pour \(x = 0.\) Donc sa courbe représentative ne « traverse » pas l’axe des ordonnées. De même, la fonction racine carrée n’est définie que pour des valeurs positives. Sur le repère, à gauche de 0, il n’y a donc aucun tracé.

Toutes les courbes ne sont pas des représentations de fonction. Un cercle, par exemple, ne peut pas en être une puisque, sur un intervalle ouvert, deux valeurs \(f(x)\) seraient associées à une valeur de \(x\) !

 

Autres cas

En revanche, on considère qu’une courbe peut aussi représenter une fonction qui ne peut pas s’exprimer algébriquement, ce qui est le cas si vous tracez une courbe à main levée de façon hasardeuse.

En dehors des maths, vous êtes d’ailleurs amené à tracer des courbes en économie, en géographie… Il s’agit souvent d’évolutions dans le temps et, comme il n’existe pas d’équation de la courbe, on trace arbitrairement des segments entre deux observations.

D'une façon générale, c'est le type de représentation adaptée aux évolutions dans le temps (voir la page sur les graphiques statistiques).

Des illustrations se trouvent en page images et antécédents.

 

Célébrités

Certains types de courbes ont un nom. En classe de seconde, vous connaissez la parabole qui représente une fonction du second degré, l’hyperbole qui représente la fonction inverse et la cubique qui représente la fonction cube. En première, on découvre la sinusoïde, que vous retrouverez en cours de physique. Mais sachez qu’il y en a d’autres.

 

Avec calculatrice

Une calculatrice graphique permet de visualiser des courbes.

Lorsque vous en tracez une avec votre calculatrice, il est important de bien la cadrer : comme si vous la preniez en photo, vous devez choisir la partie la plus intéressante et savoir zoomer dessus, ni trop, ni trop peu. Il est fréquent de tâtonner un peu pour obtenir le cadre le mieux adapté. Ci-dessous, cette étape est réalisée avant le traçage mais vous pouvez très bien commencer par tracer si vous n’avez aucune idée de la configuration de la courbe, puis par ajuster la fenêtre.

De toute façon, vous devez d’abord entrer l’expression de la fonction.

Avec une TI-82 ou TI-83 (mode d'emploi plus détaillé en page de courbe avec TI)

Touche f(x) pour saisir l’expression de la fonction. Vous pouvez d’ailleurs en saisir plusieurs (cinq avec la TI-82, sept avec la TI-83). Ici, c’est la banale fonction carré qui a été entrée dans une TI-83.

L’étape suivante est certes facultative, mais c’est celle qui vous permet le bon cadrage. Touche fenêtre. Là, vous choisissez l’intervalle de l’axe des abscisses à visualiser (Xmin et Xmax) et celui de l’axe des ordonnées (Ymin et Ymax). Vous pouvez aussi modifier les graduations (par exemple, si l’intervalle des ordonnées est [0 ; 1000], il est plus clair d’avoir une indentation toutes les 100 unités plutôt que toutes les unités). Ici, nous avons choisi un intervalle d’abscisses [-5 ;5]. Comme un carré est toujours positif, il est inutile d’avoir des ordonnées négatives. Nous avons néanmoins choisi -1 afin d’avoir une petite marge. L’ordonnée maximale est 25 puisque c’est le carré de -5 et de 5.

Ensuite, vous choisissez la touche graph ou la touche trace. Avec graph, vous obtenez juste la courbe. Avec trace, vous avez des informations et des possibilités supplémentaires. Par exemple, comme vous avez les coordonnées du point sur lequel se situe le curseur, vous pouvez très facilement remplir un tableau de valeurs. Conclusion : il est plus pratique de toujours choisir trace

Avec une Casio Graph 35 (voir aussi la page sur la fonction inverse avec la Casio Graph 85)

Touche menu puis choix du graphe (5). Là, vous pouvez entrer l’expression de votre fonction.

N’oubliez pas de valider avec la touche EXE. Puis shift et V-Window. La fenêtre ressemble à celle de la TI.

Validez chaque ligne. Touches SHIFT et QUIT pour revenir à la fenêtre précédente, puis touche F6 (Draw). Comme avec la TI, pour avoir les informations et les possibilités supplémentaires, SHIFT puis Trace (touche F1).