Résolution des problèmes de maths
Une page de méthode : comment résoudre vite et bien ses problèmes de maths ? Bon, les judicieux conseils qui suivent ne sont pas valables que pour les mathématiques, heureusement. Certains principes sont universels. Ce sont des techniques et des avis de bon sens, illustrés par une double expérience de prof du secondaire, en classe comme à domicile.
Une question que se posent régulièrement collégiens et lycéens est « à quoi servent les maths ? ». Si le contenu de sept années d’apprentissages risque d’être en grande partie inutile dans la vie privée et professionnelle de la plupart de nos contemporains, les méthodes de travail acquises dans le secondaire sont quant à elles un élément important de nombreuses activités professionnelles. D’ailleurs le contenu de cette page pourrait presque trouver sa place dans un cours de management…
L'analyse d’un problème
- La lecture du sujet. Tout prof de maths corrigeant des copies se désespère de voir ses élèves se heurter aux mêmes écueils. Une lecture trop superficielle des sujets est, avec l’oubli des parenthèses, l’une des causes les plus fréquentes des pertes de points. Quel dommage de sanctionner une mauvaise lecture plutôt que d’évaluer des capacités mathématiques stricto sensu... Peut-être faut-il mettre cette maladresse dans la perspective d’une compréhension de plus en plus mauvaise des textes en français, comme l’indiquent certaines études internationales. Donc, le premier effort est de se concentrer sur la lecture et non de se précipiter sur l’exécution de l’exercice.
Idem, dans la vie professionnelle, il est essentiel de bien comprendre ce que vous demande un supérieur hiérarchique ou un client avant d'effectuer une tâche. - Le but. Il faut se représenter le but atteindre et s’en souvenir au cours de la résolution de l’exercice. Il est peut-être stupide de le préciser mais lorsqu’on suit le cheminement du raisonnement d’un élève, on constate qu’il s’égare trop souvent. Ceci se traduit par des pertes de temps. Or, si l’on met beaucoup l’accent sur la méthode de résolution, il ne faut pas oublier la rapidité d’exécution, pourtant essentielle. On ne gagne pas une course en cherchant son chemin mais en étant fixé sur la ligne d'arrivée. Si l’on doit retrouver une forme factorisée, il n’est peut-être pas utile de commencer par développer. Cet oubli du but à atteindre se manifeste aussi quand un élève continue à chercher alors qu’il est parvenu au résultat (ce qui est assez fréquent).
- La façon d’arriver au but. La mobilisation des connaissances est sans doute le point auquel chacun s’attache en priorité. Il peut être judicieux de faire des allées et venues entre l’énoncé et l’objectif pour trouver le meilleur chemin. Parfois, la démarche n’est pas structurée et on commence à l’aveugle en utilisant toutes les données de l’énoncé pour ensuite voir où cela mène mais, en général, une méthode doit être suivie. Attention, à l’examen on doit mobiliser toutes ses connaissances mais lorsqu’on étudie un chapitre en cours d’année, on se rapporte à celui-ci. Par exemple, si en classe de seconde un énoncé demande à prouver que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme dans un plan muni d’un repère, on montre que \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu lorsqu’on étudie la géométrie analytique, que les droites \((AB)\) et \((CD)\) ont le même coefficient directeur et que les distances \(AB\) et \(DC\) sont égales lorsqu’on étudie les droites et que les vecteurs \(AB\) et \(DC\) sont égaux lorsqu’on étudie les vecteurs.
Petite précision en passant : il est inutile de recalculer ce qui a déjà été calculé lors d’une question précédente !
La logique de l’énoncé
Certains énoncés vous guident pas à pas. D’autres prennent la forme d’une seule question et c’est à vous de construire le raisonnement. Car les maths, c’est aussi de la créativité. Là encore, on touche à des qualités professionnelles.
Il est important de d’abord lire l’ensemble d’un énoncé, ne serait-ce que pour repérer s’il y a des questions « à tiroirs », c’est-à-dire où il faut absolument avoir correctement répondu à la question 1 pour espérer traiter la 2. En principe, un professeur doit éviter ce genre de questions en cascades dans les évaluations qu’il rédige car la note finale reflète mal les acquis de l’élève (ce qui n’est pas le but de la notation). À l’épreuve du bac, il y en a peu.
Il convient de s’attacher aux verbes de l'énoncé et plus particulièrement à « déduire… ». Lorsqu’une question 2 commence par « en déduire… », il est évident que le raisonnement doit intégrer la réponse à la question 1.
Par ailleurs, il est inutile de se lancer dans des calculs si l’énoncé demande une lecture graphique.
Le concret
Alors que les élèves reprochent souvent aux maths leur abstraction, bon nombre d’entre eux (souvent les mêmes) détestent les énoncés sous forme de problème concret. Cherchez l’erreur.
L’énorme difficulté est de prendre du recul, de savoir quitter la sphère mathématique pour revenir au concret. Au collège, tout prof pourrait facilement alimenter un bêtisier : on trouve dans les copies des portes de 20 cm de largeur, des jardins de milliards de km², des vitesses moyennes sur autoroute de moins de 1 km/h et autres curiosités.
Lorsqu’un problème se présente, il est donc impératif d’imaginer l’ordre de grandeur de ce que l’on cherche avant de foncer tête baissée. Cette démarche est naturelle chez les adultes, même nuls en maths, mais pose de grosses difficultés aux adolescents.
Ensuite vient la phase de modélisation, c’est-à-dire la traduction en langage mathématique de la situation énoncée. Épreuve essentielle de l'abstraction. Il n’existe pas de technique passe-partout, c’est en s’entraînant que cette compétence devient plus aisée. Mais il faut impérativement maîtriser les propriétés mathématiques grâce à des exercices simples car c’est une fois cette étape franchie que l’on passe au niveau supérieur, c'est-à-dire leur utilisation.
La rédaction
Le secret est l’empathie : savoir se mettre à la place du correcteur. Par exemple, à chaque étape d’une démonstration, se poser la question « est-il compréhensible pour quelqu’un que je passe de ceci à cela ? » et à la fin, « ma phrase-réponse est-elle compréhensible ? ».
Ce sont souvent les problèmes de géométrie qui sont l’occasion de rigoureuses démonstrations. Le raisonnement le plus simple est le fameux « on sait que, or, donc ». On sait que… (données de l’énoncé ou réponse à une précédente question), or… (une propriété étudiée en cours), donc… (conclusion). En classe de troisième, ce type de raisonnement est déjà simpliste mais il permet d’acquérir une bonne « logique ».
Lorsque le sujet est un problème concret, on attend une réponse concrète, c’est-à-dire une phrase-réponse adaptée, dans le bon registre. Si l’on étudie une fonction qui permet de déterminer des milliers d’objets à produire, on ne répond pas « il faut produire \(\frac{1}{4}\) millier d’objets » mais « il faut produire 250 objets ». C’est tout de même moins alambiqué. Le retour au concret est moins compliqué que la première étape qui fut le passage du concret au mathématique. C’est davantage du français que des maths. Et pourtant, à la lecture de très nombreuses copies, on constate qu’il est bien difficile de redescendre sur terre !
Les maths, c’est aussi de la communication. Si vous êtes un génie mais que vous ne savez pas communiquez, vous vivez en vase clos, isolé et inutile. Si vous n’êtes pas trop mauvais mais que vous savez faire comprendre aux autres ce que vous savez, là, vous êtes utile. Là encore, les maths sont le support d'un bon entraînement. Les clés d'une bonne communication sont celles de la réussite dans la vie professionnelle comme dans la sphère privée.
Les représentations
Le but des représentations est de vous aider : courbes, graphiques, arbres de probabilités, figures géométriques vous aident à comprendre et à vous faire comprendre. Soyez persuadé que ce ne sont pas des difficultés supplémentaires, au contraire. Bien sûr, elles obéissent à quelques règles. Mais n’importe quel jeu de société comporte des règles souvent plus compliquées !
