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(et fondements mathématiques)

Les fonctions linéaires

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Proportionnalité et fonctions linéaires

En France, le programme de maths de seconde inclut un rappel de notions très liées que sont les pourcentages, la proportionnalité et les fonctions linéaires. Il s'agit d'approches différentes d’une même problématique.

Les fonctions linéaires sont étudiées dès la troisième, avec les fonctions affines. Leur expression algébrique est très simple.

Ce type de fonction formalise ce qui est proportionnel. Soit f une fonction linéaire et a un nombre fixé. Alors f(x) = ax. Le réel a est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de x à f(x). Si a = 1, alors f(x) = x. C'est la fonction identité.

Graphiquement, ces fonctions sont représentées par des droites dans le plan qui passent par l’origine du repère. Le coefficient de proportionnalité a est aussi le coefficient directeur de la droite représentative. Pour tracer la droite, il suffit de déterminer un seul point autre que l'origine. Le tableau de valeurs est donc très réduit...

L'ensemble de définition d’une telle fonction est l'ensemble des réels. Toutefois, il est restreint à un intervalle fini dans les problèmes concrets (Cf. ci-dessous).

Soit par exemple un commerçant qui vend du riz au prix de 4 euros le kg et soit x le nombre de kg vendus. La fonction f(x) = 4x donne le montant de sa recette. C’est évident. Si le marchand vend 2 kg, il obtient 4 × 2 = 8 €. S’il a un stock de 100 kg, le domaine de définition de la fonction est l’intervalle [0 ; 100] puisqu'il ne peut ni vendre une quantité négative de riz, ni vendre plus que ce qu'il a en réserve. Ci-dessous, une illustration réalisée sur Excel permet de visualiser le lien : 0 kg vendu = 0 €, 1 kg vendu = 4 €, etc.

représentation de fonction linéaire

On peut d’ailleurs utiliser le graphique pour prendre le problème à l’envers : quel poids de riz faut-il vendre pour gagner 6 € ? Réponse : 1,5 kg.

problème inverse

On constate ainsi qu’il existe toujours cette même proportion entre x et f(x). Vous pouvez d’ailleurs faire le lien avec d’autres problèmes de proportionnalité, même si à cette occasion vous ne tracez pas de droite : l’utilisation du théorème de Thalès, la réalisation d’un graphique circulaire avec un rapporteur, un calcul de fréquences, les probabilités ou ce que l'on appelait la règle de trois sont quelques situations auxquelles un élève de seconde doit être habitué.

L’application d’un pourcentage d’évolution relève du même principe. Mais avant d’aller plus loin, faisons un détour pour visiter le coefficient multiplicateur.

Un taux de croissance s’énonce ainsi :

taux de croissance

Par exemple si une barquette d’andouilles vaut 5 euros puis la semaine suivante 5,25 euros, son prix a augmenté de (0,25 / 5) × 100 = 5 %. Si au contraire le prix passe de 5,25 à 5 euros, le prix a baissé de (-0,25 / 5,25) × 100 = 4,75 % environ.

Soit maintenant le problème inverse : on connaît le taux d’évolution et c’est le prix d’arrivée que l’on cherche. Il faut alors multiplier le prix de départ par [1 + (taux / 100)]. Cette formule est celle du coefficient multiplicateur.

Soit par exemple une barquette de tripes qui vaut 4 euros hors taxe (HT) et un taux de TVA de 5,5 % ; le prix TTC de la barquette s'élève à 4 × 1,055 = 4,22 euros. Inversement, pour retrouver un prix de départ, il faut DIVISER le prix d’arrivée par le coefficient multiplicateur. On paie une barquette de tripes 4,22 et l’on sait que le taux de TVA sur les produits alimentaires est de 5,5 %. Combien aurait-il coûté hors taxe ? 4,22 / 1,055 = 4 €.

Si l’on étudie la relation entre le prix HT et le prix TTC d’un produit alimentaire taxé à 5,5 %, il y a bien une stricte proportionnalité puisque le prix TTC vaut toujours 1,055 fois le prix HT. Si x est n’importe quel prix HT, alors le prix TTC est donné par la fonction linéaire f(x) = 1,055x (coefficient multiplicateur = coefficient directeur). On peut ainsi tracer une droite sur un plan muni d’un repère. Et avec cet outil, il suffit de se donner un prix HT et de le positionner sur l’axe des abscisses puis lire l’image de x sur l’axe des ordonnées et ainsi connaître le prix TTC (ci-dessous, réalisation avec SineQuaNon).

HT => TTC

Bien sûr, il n’est pas très précis de déterminer un prix TTC à l’aide d’une droite ! Rien ne vaut un calcul !

La pente de la droite est évidemment plus faible si l'on rapporte une partie à un tout : si par exemple un vendeur touche une commission de 10 % sur ses ventes, ces dernières étant indiquées en abscisse, le coefficient directeur de la droite qui lui permet de lire sa commission sur l'axe des ordonnées est de 0,1 soit (10 / 100).

Attention, ceci ne vaut que pour l’application UNIQUE d’un pourcentage. Si par exemple un prix augmente de a % chaque année et que les abscisses représentent le temps, ceci ne se traduit pas graphiquement par une droite mais par une courbe (ce type de problème est au programme de première ; voir éventuellement les pages évolutions successives et suites géométriques). L’exercice ci-dessous permet cependant d’avoir une première approche des évolutions successives.

 

coefficient multiplicateur

 

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