Deux exercices avec fonction exponentielle

Fonction exponentielle (exercices niveau terminale)

Cette page présente deux extraits d'épreuves de bac ES sur la fonction exponentielle. Les élèves de terminale ES peuvent donc s'entraîner dessus, mais aussi ceux de terminale S.

 

Exercice 1 (extrait de l’épreuve du bac ES, Liban, mai 2013)

On considère la fonction C définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

C(x)

1. On désigne par C’ la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout x ∈ [5 ; 60],

C'(x)

2. On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par :

f(x)

a- Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b- Montrer que l’équation f(x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60].

c- Donner un encadrement à l’unité de α.

d- En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].

3. En déduire le tableau de variation de C sur [5 ; 60].

4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : C(x) = 2 et C(x) =5.

 

Éléments de correction

1. Calcul de la dérivée :

C'(x)

2. a- La détermination de f’ fait intervenir la dérivée d’un produit de fonctions.

f’(x) = 0,1e0,1x + 0,1x × 0,1e0,1x – 0,1e0,1x = 0,01xe0,1x.

Donc f’(x) > 0 et f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b- La fonction f est continue et strictement croissante sur [5 ; 60]. Par ailleurs, f(5) = -20,8 environ et f(60) = 1997,1. Or, f(5) < 0 < f(60). Selon le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [5 ; 60].

c- Selon la calculatrice, f(25) = -1,7 et f(26) = 1,5. Donc 25 < α < 26.

d- D’après la question précédente :

tableau de signes

3. Nous remarquons que C’(x) = f(x) / x², par conséquent le signe de C’(x) est le signe de f(x).

C(x)

4. D’après la calculatrice, C(5) = 4,3, C(60) = 7,1 et C(α) = 1,3. Donc l’équation C(x) = 2 admet deux solutions (l'une dans [5 ; α] et l'autre dans [α ; 60]) tandis que C(x) = 5 n’en admet qu’une seule (plus précisément dans [α ; 60]).

 

Exercice 2 (extrait de l'épreuve du bac ES, Asie, juin 1988

Attention, en 1988 les limites étaient au programme de la filière ES, ce qui n'est plus le cas.

Soit f la fonction de variable réelle x, définie sur R par :

f(x) = ex(ex + a) + b où a et b dont deux constantes réelles.

Les renseignements connus sur f sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous.

tableau de variations

1. Calculer f’(x) en fonction de a (f’ désigne la fonction dérivée de f).

2. a) Déterminer a et b en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci-dessus.

b) Calculer f(0) et calculer la limite de f en +∞.

3. Résoudre dans R l’équation ex(ex – 2) – 3 = 0 (on pourra poser X = ex).

 

Éléments de correction

Remarque préliminaire : vous avez remarqué que le tableau est incomplet. Un exercice, non repris ici, consistait à le compléter.

1. La fonction se présente sous forme d’un produit et d’une constante dont on n’a rien à faire. Donc, (uv)’ = u’v + v’u avec uu’ = ex, v = ex + a et v’ = ex et f’(x) = ex(exa) + exex. Factorisons. Nous obtenons f’(x) = ex(exa + ex), soit f'(x) = ex(2ex + a).

2. Après la dérivation, jouons à l’identification. Le tableau de signes nous indique que f'(0) = 0. Remplaçons. Nous avons e0(2e0 – a) = 0 et comme e0 = 1, on décèle bien vite la vérité : a n’est autre que -2. Quant à la constante b, elle se découvre grâce à la limite en moins l’infini. On sait que, dans ces contrées lointaines, ex flirte avec zéro. Il ne nous reste donc plus que la mystérieuse constante b qui se trouve être égale à la limite… D'où b = -3.

À présent, notre fonction n’a plus aucun secret : f(x) = ex(ex – 2) – 3. Le calcul de f(0) ne présente alors pas la moindre difficulté puisque 1(1 – 2) – 3 = -4. Quant à la limite en plus l’infini, elle est de plus l’infini. Ce n’est même pas une forme indéterminée.

3. En passant, l’énoncé nous fournit aimablement la solution de l’identification. Procédons au changement de variable Xex comme nous y sommes invités.

X(X – 2) – 3 = X² – 2X – 3 = 0. Banal polynôme du second degré. Si vous avez oublié la façon de le résoudre, rendez-vous en page racines d’un trinôme. Deux solutions existent : -1 et 3.

Au moment où nous devons revenir à ex, stupéfaction : l’exponentielle étant toujours positive, -1 est recalé. La seule solution acceptée vérifie donc l'équation ex = 3, c’est-à-dire que= ln 3. La courbe représentative de la fonction f traverse l’axe des abscisses au point (ln 3 ; 0) et pas ailleurs.

 

Exercices d'entraînement à la manipulation d'exponentielles

Voir les pages exercices avec logarithmes et exponentielles, extremums, dérivées successives et exercices sur les limites avec exponentielle (terminale S seulement). Si vous avez étudié la convexité (terminale ES uniquement), voir la page exponentielle et convexité pour vous entraîner sur deux autres exercices. Un autre exercice en page d'exponentielle au bac ES. Si vous connaisez les primitives, voir la page primitives des fonctions usuelles et surtout les exercices sur primitives de fonctions exponentielles.