Continuité et TVI
Dans les programmes de maths de terminale générale figure le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ou théorème de la bijection. Celui-ci a l’habitude de s’inviter à l’épreuve du bac (voir par exemple le problème avec exponentielle). Le principe n'est pas difficile à appréhender.
La continuité
Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon (on doit toujours préciser l'intervalle sur lequel on étudie une continuité). Les fonctions usuelles vues en terminale sont continues sur leurs ensembles de définition.
Définition plus rigoureuse : une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\) et elle est continue sur l'intervalle \(I\) si elle l'est en tout point \(a\) de \(I\).
N’importe quelle fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb{R}\) alors que la fonction racine carrée ne l’est que sur \(\left[ {0\,; + \infty } \right[\) et la fonction inverse sur \(\left] { - \infty \,;0} \right[\) et sur \(\left] {0\,; + \infty } \right[\) mais certainement pas sur \(\mathbb{R}\) (il faut lever le crayon pour tracer l'hyperbole). D'autres fonctions sont étudiées en terminale, souvent après la continuité : la fonction exponentielle est continue sur \(\mathbb{R}\) et la fonction logarithme l’est sur \(\left] {0\,; + \infty } \right[\). Enfin, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb{R}.\)
Là où une fonction est dérivable, elle est continue. L'inverse n'est pas toujours vrai (la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable).
Enfin, une composée de fonctions continues est continue.
La page sur l'étude de continuité reprend plusieurs cas de figure.
Le TVI
Théorème : une fonction \(f\) continue sur un intervalle \([a\,;b]\) de \(\mathbb{R}\) atteint toutes les valeurs comprises entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
Il suffit de tracer n’importe quelle courbe dans le plan pour le constater. La courbe ci-dessous représente une fonction continue sur \([-1\,;2]\). Elle montre que \(f(-1)=-2\) et \(f(2)=1\).
Donc, toutes les valeurs comprises entre -2 et 1 sont prises au moins une fois par \(f\).
Pour bien fixer les idées, voici une autre courbe, représentant une fonction non continue définie sur \([-1\,;2]\). Elle indique que \(f(-1) = -2\) et \(f(0) = 2\) mais bien que croissante sur \([-1\,;0]\) elle ne prend pas toutes les valeurs comprises entre -2 et 2. Elle n’est jamais égale à -0,5, par exemple.
Corollaire : si une fonction continue est strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle \([a\,;b]\) et que le réel \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution sur \([a\,;b]\).
Là aussi, c’est d’une parfaite évidence ! On s’en assure avec la courbe ci-dessous. Elle représente une fonction continue strictement croissante sur \([0\,;4]\). Donc, elle n’est pas « trouée » et elle ne zigzague pas. Ainsi, toute valeur de l’intervalle \([0\,;4]\) admet une image et une seule. \(f(0) = 0\) et \(f(4) = 2\). Toute valeur prise par la fonction se situe entre 0 et 2. Par exemple, \(f(1) = 1\).
Donc, si un énoncé vous demande de démontrer qu’une fonction prend telle valeur et une seule fois sur un intervalle \([a\,;b]\) (pour une valeur de \(x\) souvent nommée \(\alpha\)), il n’y a que deux petits calculs d'images à effectuer, soit \(f(a)\) et \(f(b)\), et pour le reste il suffit d’adapter une même structure de démonstration à la situation. Voici un modèle :
1- La fonction \(f\) est une fonction … (polynomiale, racine, exponentielle…), donc elle est continue sur… (son ensemble de définition). C’est une « question de cours ». Par exemple, le graphique ci-dessus représente la fonction racine carrée. On peut écrire : « \(f\) est la fonction racine carrée, donc elle est continue sur \([0\,;4]\) ».
2- Nous avons établi à la question … que \(f\) est strictement croissante (ou décroissante). En effet, les questions d’application du TVI arrivent souvent après avoir démontré la monotonie de la fonction, par exemple en ayant déterminé sa dérivée. Dans le cas contraire, il convient de le démontrer à cet endroit-ci (voir l’exercice ci-dessous).
3- \(f(a) = ...\) et \(f(b) = ...\) et \(\alpha \in [f(a)\,;f(b)]\).
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions monotones, \(f\) admet une et une seule valeur \(\alpha\) sur l’intervalle \([a\,;b]\).
En général, cette question est suivie d’une autre qui demande une approximation de \(\alpha\). Elle peut consister en un arrondi ou un intervalle (voir ces deux cas en page applications du TVI à la gestion). Plus rarement, on vous demandera une valeur par défaut (arrondi inférieur) ou par excès (arrondi supérieur).
Cette approximation est réalisée à la calculatrice. En page de valeurs intermédiaires, deux méthodes sont expliquées. Vous en trouverez ci-dessous une troisième, rarement enseignée bien qu’elle soit la plus rapide. Vous pouvez aussi déterminer une approximation grâce à un petit programme, par exemple en Python (voir la page sur la dichotomie).
Exercice
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^3 + x - 1\) définie sur \(\mathbb{R}\). Montrer que dans l’intervalle \([0\,;1]\) l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\). Donner une valeur par défaut de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près.
Corrigé
\(f\) est une fonction polynomiale. Elle est donc continue sur \(\mathbb{R}\).
Sa dérivée est \(f’(x) = 3x^2 + 1\). Quelle que soit la valeur de \(x\), \(3{x^2} \geqslant 0\), donc \(f'(x) > 0\). Nous en déduisons que \(f\) est une fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\) et \(0 \in [f(0)\,;f(1)]\).
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions monotones, \(f\) admet une et une seule valeur \(\alpha\) sur l’intervalle \([0\,;1]\).
D’après la calculatrice, la valeur de \(\alpha\) par défaut à \(10^{-3}\) près est 0,682.
Et voici la recette promise plus haut pour utiliser la calculatrice (TI-82 ou TI-83, en l’occurrence). Entrez la fonction \(f\) ainsi qu’une seconde fonction qui sera constante. Comme on cherche \(f(x) = 0\), cette dernière sera tout simplement égale à 0. Puis touche CALC et choix 5 (intersection). Entrée. Le graphe apparaît. La calculatrice pose des questions auxquelles il suffit de répondre en tapant la touche entrée puis la courbe réapparaît avec votre réponse en bas à gauche. Arrondissez le résultat et servez sans assaisonnement sur une copie bien propre.
