Une introduction aux primitives

Définition et détermination des primitives

Cette page est rédigée à l’attention des élèves de terminale générale ainsi que des étudiants, tous enthousiastes à l’idée de découvrir les primitives.

 

Définition

Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I.\) On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que, pour tout réel \(x\) de \(I,\) \(F’(x) = f(x).\)

Exemple : soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x.\) Oui, vous avez bien deviné, la fonction carré est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}.\)

 

Ensemble des primitives d’une fonction

L’ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est l’ensemble des fonctions \(G\) définies sur \(I\) par \(G(x) = F(x) + c\) pour tout \(x\) de \(I,\) \(c\) étant une constante réelle. Autrement dit, deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante. Il découle de ce théorème que si une fonction admet une primitive, alors elle en admet une infinité.

Reprenons notre fonction \(f\) de l’exemple précédent. Nous avons vu que la fonction carré était une primitive de \(f\) mais la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = x^2 + 4\) en est une autre sur \(\mathbb{R}.\)

La démonstration n’est pas trop compliquée. Soit pour tout \(x\) de \(I,\) \(G(x) = F(x) + c,\) \(c\) étant un réel quelconque. On a donc \(G’(x) = F’(x) = f(x)\) et il est évident que \(G\) est une primitive de \(f.\) Donc \(F’ - G’ = 0\) ou encore \((F - G)’ = 0.\) Il s’ensuit que la fonction \(H = F - G\) est une fonction constante puisque sa dérivée est nulle. Ainsi deux primitives de \(f,\) en l’occurrence \(F\) et \(G,\) ne diffèrent que d’une constante.

La représentation graphique de plusieurs primitives d’une même fonction est donc un ensemble de courbes identiques à une translation verticale près. Soit notre chère fonction \(f\) définie par \(f(x) = 2x.\) Voici réalisées sur GeoGebra les courbes représentatives de cinq primitives de \(f.\)

primitives

 

Primitive prenant une valeur donnée en un point donné

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I,\) \(a\) un réel appartenant à \(I\) et \(y_0\) un réel donné. Alors il existe une primitive unique \(F\) telle que \(F(a) = y_0.\)

Par conséquent, \(F\) est LA primitive de \(f\) qui prend la valeur \(y_0\) en \(a.\)

À titre d'exemple, on voit bien sur la représentation graphique ci-dessus qu’une seule courbe prend la valeur -3 en 0 (la bleue). Donc, \(F(0) = -3.\) Remarquons que dans la mesure où il existe une infinité de primitives, le plan peut être complétement recouvert de courbes et n’importe quel point du plan appartient donc à l’une d’elles et à une seule !

Pouvons-nous trouver la primitive qui passe par le point de coordonnées \((100\,;100)\) ? Nous savons que dans cet exemple les primitives de \(f\) s’écrivent sous la forme \(F(x) = x^2 + c.\) Il faut donc trouver \(c\) tel que \(F(100) = 100.\)

\(100^2 + c = 100\)
\(⇔ c = -9900\)

La primitive cherchée est \(F(x) = x^2 - 9900\)

 

Propriétés

On retrouve logiquement des propriétés des dérivées. Ainsi, si \(F\) et \(G\) sont des primitives respectives de \(f\) et \(g\) sur un intervalle \(I,\) alors \(F + G\) est une primitive de \(f + g\) sur \(I.\)

De même, si \(k\) est un réel, alors \(kF\) est une primitive de \(kf\) sur \(I.\)

 

Primitive de fonctions usuelles

Il suffit d’appliquer à l’envers les formules de dérivées.

Fonction \(f\) Primitive \(F\) Intervalle \(x\)
\(x^n \; (n \geqslant 0)\) \(\frac{1}{n+1} \times x^{n+1} + c\) \(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{x}\) \(\ln x + c\) \(\mathbb{R}^*_+\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) \(2 \sqrt{x} + c\) \(\mathbb{R}^*_+\)
\(e^x\) \(e^x + c\) \(\mathbb{R}\)

Voir aussi les primitives de fonctions trigonométriques (pour terminale spécialité maths).

 

Primitives de fonctions composées

Une primitive quelconque de \(f(x) = u’(x)e^{u(x)}\) n’est autre que \(F(x) = e^{u(x)} + c.\) Voir les exercices sur primitives de fonctions exponentielles.

Autre cas à connaître, une primitive de \(f(x) = 2u(x)u'(x).\) Il s'agit de \(F(x) = u(x)^2 + c.\)

Troisième et dernier cas, du moins dans le programme de maths complémentaires. Si \(f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\) alors \(F(x) = \ln u(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}^*_+.\)

Ces deux derniers cas font l'objet de la page d'exercices sur les primitives.

En spécilité maths, vous devez reconnaître toute structure de type \((v' \circ u) \times u'.\)

 

Tout ça pour quoi faire ?

Les primitives servent notamment à calculer des intégrales qui permettent de déterminer des aires. Dans ce contexte, il est inutile de prendre en compte une constante \(c.\)

Ce site contient un certain nombre d’exercices de niveau terminale sur les primitives : fonction exponentielle au bac, fonction logarithme au bac, exercice sur les surplus...

 

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