Exercices sur primitives avec exp
Quelques exercices assez simples dont l’objet est de déterminer des primitives de fonctions exponentielles : vous en rêviez, les voici. Leur niveau est celui d’une terminale générale. Bien sûr, vous pouvez aussi bien évoluer dans le supérieur et vous entraîner dessus car il n’existe aucune contre-indication à ce type d’activité.
Rappel
Une primitive de \(f: x \mapsto u'(x)e^{u(x)}\) (\(u(x)\) étant l'expression d'une fonction et \(u’(x)\) étant celle de sa dérivée) s'écrit \(F(x) = e^{u(x)}.\)
Exercice
Pour chaque fonction ci-dessous, trouvez une primitive sur \(\mathbb{R}\) (comme il est demandé UNE primitive, il ne sera pas nécessaire d'indiquer une constante).
- \(f(x) = 3e^{x-4}\)
- \(g(x) = -e^{\frac{1}{3}x-5}\)
- \(h(x) = -6e^{5x}\)
- \(k(x) = 2xe^{x^2 + 1}\)
- \(l(x) = 3e^{-0,2x} + 2x\)
- \(m(x) = 2e^{4x} + xe^{x^2}\)
- \(n(x) = \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}\)
Corrigé
- \(f(x) = 3e^{x-4}.\) Soit \(u(x) = x - 4.\) Donc \(u’(x) = 1.\) Plus généralement, lorsqu’une fonction est de type \(\exp(ax + b)\) et que \(a = 1,\) alors la dérivée et une primitive de cette fonction ont toutes deux la même expression… que la fonction elle-même.
Donc \(F(x) = 3e^{x-4}\)
- \(g(x) = -e^{\frac{1}{3}x-5}.\) Il est un peu moins simple de trouver une primitive de g puisqu’il faut déterminer un coefficient que multiplie l’exponentielle. Souvenez-vous alors que si l'expression d'une fonction est de type \(e^{ax + b},\) l’une de ses primitives s'écrit \(\frac{1}{a}e^{ax+b}.\)
Donc \(G(x) = -3 \exp\left({\frac{1}{3}x-5}\right)\)
- \(h(x) = -6e^{5x}.\) Si vous savez déterminer \(G,\) primitive de \(g,\) alors vous savez déterminer \(H.\)
\(H(x) = -\frac{6}{5}e^{5x}\)
- \(k(x) = 2xe^{x^2 + 1}.\) Avec \(k,\) nous avons une forme très classique de type \(u’(x)e^{u(x)}\) avec \(u(x) = x^2 + 1\) (et bien sûr \(u’(x) = 2x\)). Il s’ensuit que \(K(x) = \exp(x^2 + 1)\)
- \(l(x) = 3e^{-0,2x} + 2x.\) Elle se présente comme l’addition d’une fonction exponentielle et d’une fonction linéaire (voir primitives des fonctions usuelles). Détaillons les étapes de calcul :
\(L(x) = \frac{3}{-0,2}e^{-0,2x} + x^2\)
\(\Leftrightarrow L(x) = -15e^{-0,2x} + x^2\)
- \(m(x) = 2e^{4x} + xe^{x^2}.\) Pour \(m\) aussi il faut décomposer l’expression de la fonction. Le premier terme ne pose pas de difficulté si vous avez compris comment trouver les primitives de \(g\) et de \(h.\) Pour le second, sachant que l'expression dérivée de \(x^2\) est \(2x,\) l'expression de \(u(x) = xe^{x^2}\) a pour structure \(\frac{1}{2}u(x)e^{u(x)}\) et c’est la dérivée de \(U(x) = \frac{1}{2} e^{x^2}\).
\(M(x) = \frac{1}{2}e^{4x} + \frac{1}{2}e^{x^2}\)
- \(n(x) = \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}.\) Remarquez que l’expression de \(n(x)\) s’écrit sous forme \(-\frac{u’(x)}{u(x)^2}.\)
C’est donc la dérivée d’une fonction de type \(\frac{1}{u(x)}.\)
\(N(x) = \frac{1}{e^{-x} + 1}\)
Annales (bac ES)
Extrait de l’épreuve de bac ES, Amérique du nord, mai 2012.
- La fonction \(f\) a pour expression \(f(x) = (x + 2)e^{-x}.\)
- Montrer que la fonction \(F\) définie sur l’intervalle \([-2\,; 4]\) par \(F(x) = (-x - 3)e^{-x}\) est une primitive de \(f.\)
Corrigé
Cette question sur une primitive cache un simple un exercice de dérivation. Puisque l’énoncé donne l’expression d’une primitive \(F,\) il suffit de dériver cette dernière pour constater que \(F’\) est bien égale à \(f.\) En l’occurrence, nous devons dériver un produit de fonctions.
\(F(x) = u(x) × v(x)\) avec \(u(x) = -x - 3\) et \(v(x) = e^{-x}\)
Nous avons \(u’(x) = -1\) et \(v’(x) = -e^{-x}\)
Formule : \(F’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x)\)
\(F’(x) = -e^{-x} - e^{-x}(-x - 3)\)
\(F’(x) = e^{-x}[-1 - (-x - 3)]\)
\(\Leftrightarrow F’(x) = e^{-x}(x + 2) = f(x)\)
\(F\) est bien une primitive de \(f.\)
Annales (bac S)
Extrait de l'épreuve de bac S, Nouvelle-Calédonie mars 2017.
-
On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur \([0\, ;+∞[\) par \(f(x) = xe{-x}\) (…)
- Soit \(F\) la fonction définie et dérivable sur \([0\, ;+∞[\) par \(F(x) = (-x – 1)e{-x}.\)
- Démontrer que la fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([0\, ;+∞[.\)
Corrigé
Là encore, démarche classique où il ne s’agit pas de déterminer une primitive mais de dériver.
\(F\) est une fonction produit à dériver. Elle s’écrit \(u(x)v(x)\) avec \(u(x) = -x – 1\) et \(v(x) = e^{-x}.\) Donc \(u’(x) = -1\) et \(v’(x) = -e^{-x}.\)
\(F’(x) = -e^{-x} -e^{-x}(-x – 1)\)
Factorisons par \(e^{-x}.\)
\(F’(x) = e^{-x}(-1 + x + 1)\)
\(\Leftrightarrow F’(x) = xe^{-x} = f(x)\)
\(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\, ;+∞[.\)
Exercice supplémentaire
Déterminez une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{e^x}{e^x + 3}\)
Corrigé
Vous devez connaître la dérivée de l'expression \(\ln u(x).\) Ainsi une primitive de \(\frac{u’(x)}{u(x)}\) est \(\ln u(x).\) Notre fonction \(f\) se situe dans cette configuration.
Par conséquent, \(F(x) = \ln (e^x + 3)\)
