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(et fondements mathématiques)

Quelques primitives de fonctions exponentielles

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Exercices sur primitives de fonctions exponentielles

Quelques exercices assez simples dont l’objet est de déterminer des primitives de fonctions exponentielles : vous en rêviez, les voici. Leur niveau est celui d’une terminale ES. Bien sûr, vous pouvez aussi bien évoluer en terminale S ou dans le supérieur et vous entraîner dessus car il n’existe aucune contre-indication à ce type d’activité.

Rappel

Une primitive de u’eu (u étant une fonction et u’ étant sa dérivée) est eu.

Exercices

Pour chaque fonction ci-dessous, trouvez une primitive sur R.

énoncé

Éléments de correction

- Pour f(x), u = x – 4. Donc u’ = 1. Plus généralement, lorsqu’une fonction est de type e(ax + b) et que a = 1, alors la dérivée et une primitive de cette fonction ont toutes deux la même expression… que la fonction elle-même.

Donc F(x) = 3ex-4

- Il est un peu moins simple de trouver une primitive de g puisqu’il faut déterminer un coefficient que multiplie l’exponentielle. Souvenez-vous alors que si une fonction est de type e(ax + b), l’une de ses primitives est (1 / a)e(ax + b).

Donc…

G(x)

- Si vous savez déterminer G, primitive de g, alors vous savez déterminer H.

H(x)

- Avec k, nous avons une forme très classique de type u’eu avec u =  + 1 (et bien sûr u’ = 2x). Il s’ensuit que :

K(x)

l se présente comme l’addition d’une fonction exponentielle et d’une fonction linéaire (voir primitives des fonctions usuelles). Détaillons les étapes de calcul :

L(x)

- Pour m aussi il faut décomposer l’expression de la fonction. Le premier membre ne pose pas de difficulté si vous avez compris comment trouver les primitives de g et de h. Pour le second, il faut se souvenir que la dérivée de est 2x. Donc, l'expression de la fonction xe a pour structure ½ u’eu et c’est la dérivée de ½ e.

M(x)

- Remarquez que l’expression de n(x) s’écrit sous forme –u’ / u². C’est donc la dérivée d’une fonction de type 1 / u.

N(x)

Annales

Extrait de l’épreuve de bac ES, Amérique du nord, mai 2012.

La fonction f a pour expression f(x) = (x + 2)e-x.

Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [-2 ; 4] par :

F(x) = (-x – 3)e-x

est une primitive de f.

Corrigé

Comme souvent aux épreuves du bac ES, une question sur une primitive cache un exercice de dérivation.

Ainsi, dans la mesure où l’énoncé donne l’expression d’une primitive F, il suffit de dériver cette dernière pour constater que F’ est bien égale à f.

En l’occurrence, nous devons dériver un produit de fonctions.

F(x)u × v avec u-x – 3 et v = e-x

Nous avons u’ = -1 et v’-e-x

Formule : F’(x) = u’vv’u

F’(x) = -e-x – e-x(-x – 3)

Factorisons.

F’(x) = e-x[-1 – (-x – 3)]

F’(x) = e-x(x + 2) = f(x)

F est bien une primitive de f.

Exercice supplémentaire

Déterminez une primitive de la fonction f définie sur R par :

f(x)

Corrigé

Ce type d’exercice se trouve encore dans les manuels de terminale ES bien que la dérivée de ln(u) ne fasse plus expressément partie du programme et qu’elle ait disparu des sujets du bac.

Ainsi une primitive de u’ / u est ln(u). f se situe dans cette configuration.

Par conséquent, F(x) = ln (ex + 3)

 

primitive introuvable

 

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