Les nombres décimaux

Décimaux et encadrement

Dans la vie quotidienne, les nombres décimaux sont partout. Vous mesurez 1,74 m ? Votre compte est débiteur de -10,35 € ? Vous utilisez les décimaux au quotidien (même si, dans le premier cas, il s’agit d’un arrondi). Et s’ils sont partout, c’est parce qu’ils sont inséparables de la plupart des systèmes de mesure. Pourtant, en maths, ils constituent un ensemble qui n’a guère d’intérêt ! Il est peu probable qu’un jour vous trouviez un exercice commençant par « soit \(x\) un nombre décimal ». Certes, une large majorité d’élèves préfèrent la forme décimale des nombres aux fractions… mais il ne faut pas confondre un nombre décimal avec un nombre écrit sous FORME DÉCIMALE (avec une virgule).

La virgule est l’un des rares caractères mathématiques à ne pas être normalisé au niveau mondial puisque le séparateur décimal est parfois le point (notamment dans les pays anglo-saxons, d’Amérique centrale et d’Extrême-Orient).

Définition

Un nombre décimal est un réel dont le nombre de décimales est fini. Il peut être obtenu en divisant un entier relatif par une puissance de 10. Par exemple, 1,62 est égal à \(\frac{{162}}{{{{10}^2}}}.\)

L’ensemble des nombres décimaux s’écrit \(\mathbb D.\)

Un nombre décimal peut n’avoir aucune décimale. C’est alors un entier. Il peut aussi s’écrire sous forme de fraction. Certains d’entre eux doivent d’ailleurs vous être familiers : ainsi \(\frac{1}{2} = 0,5,\) \(\frac{1}{4} = 0,25\) ou encore \(\frac{3}{4} = 0,75.\) De même les divisions par 5 : \(\frac{1}{5} = 0,2,\) \(\frac{2}{5} = 0,4,\) \(\frac{3}{5} = 0,6\) et \(\frac{4}{5} = 0,8.\)

En revanche, si une fraction conduit à une infinité de chiffres après la virgule, vous n’êtes pas en présence d’un décimal. Par exemple, \(\frac{10}{3} = 3,3333…\) n’est pas un nombre décimal, même s’il est écrit sous forme décimale (attention à ne pas confondre 0,333... avec 0,333 ; dans le premier cas les points de suspension indiquent qu'il y a une infinité de 3, dans le second nous sommes en présence d'un nombre décimal).

Valeur approchée

Bien sûr, une calculatrice ou un logiciel en mode décimal vous restitue toujours un nombre fini de chiffres après la virgule puisque la taille des écrans n’est pas illimitée. S'il s’agit d'un arrondi, c'est une valeur approchée.

Dans la vie courante, on utilise des approximations mais dans un exercice de maths, on ne les emploie que lorsque l’énoncé l’exige. De plus on évite d’arrondir un réel dans les calculs intermédiaires pour ne le faire qu’en fin d’exercice (sinon, l’écart peut se cumuler au cours des étapes de calcul et finalement vous risquez d’obtenir un résultat vraiment incorrect…).

On arrondit en fonction de la première décimale que l’on ne retient pas. Par exemple, si la solution d’un problème doit être présentée avec deux décimales, c’est la troisième décimale qui permet de choisir la deuxième : à partir de 5, on arrondit par excès. Exemples : l’arrondi à l’unité de 1,5 est 2, l’arrondi au dixième de 1,44 est 1,4, l’arrondi au centième de 1,66666 est 1,67, etc.

Propriétés

La somme et le produit de deux décimaux sont des décimaux. En revanche, comme nous l’avons vu, la division d’un décimal par un autre n’implique pas que le résultat soit décimal.

Exercice

Déterminer un nombre décimal \(x\) tel que \(\frac{{23}}{7} < x < \frac{{24}}{7}\)

Réponse

D’après la calculatrice, \(\frac{{23}}{7} \approx 3,2857\) et \(\frac{{24}}{7} \approx 3,4286.\) On peut donc opter pour la simplicité et choisir 3,3 ou préférer des solutions plus alambiquées comme 3,4174688.

Une démonstration

Démontrons que \(\frac{{1}}{3}\) n’est pas décimal.

Nous allons raisonner par l’absurde.

Supposons que \(\frac{{1}}{3}\) soit un nombre décimal. Cela signifie qu’il existe un entier \(a\) qui, divisé par une puissance de 10, est égal à \(\frac{{1}}{3}.\)

\(\frac{1}{3} = \frac{a}{{{{10}^n}}}\)

Cela revient à écrire \(10n = 3a.\) Donc, \(10^n\) doit être un multiple de 3.

Or, il est impossible que \(10^n\) soit un multiple de 3. En effet, si l’on additionne tous les chiffres d’un nombre, il faut obtenir un multiple de 3 pour que ce nombre soit lui aussi un multiple de 3. Ce n’est pas le cas des puissances de 10 qui s’écrivent avec un 1 suivi de \(n\) zéros. La somme de leurs chiffres vaut toujours 1.

Comme aucune puissance de 10 ne peut être un multiple de 3, notre hypothèse de départ est fausse : \(\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal.

L’encadrement

Soit \(a,\) \(b\) et \(x\) trois réels. Si \(a < x < b\) on dit que \(x\) est encadré par \(a\) (borne inférieure) et \(b\) (borne supérieure). L’amplitude de l’encadrement est égale à \(b-a\) (on retrouve cette notion d’amplitude en statistiques).

Ainsi, tout réel peut être encadré par deux décimaux.

Prenons par exemple, \(\sqrt 2 .\) Il s’agit d’un nombre irrationnel et il est impossible de l’exprimer de façon exacte avec une virgule, même avec des milliards de décimales. En revanche, on peut l’encadrer.

Si on l’encadre avec une amplitude de \(10^{-1}\) (soit un chiffre après la virgule), on obtient \(1,4 < \sqrt 2 < 1,5.\)

Si l’on souhaite être plus précis, on réduit l’amplitude au millionième (soit six décimales), on obtient \(1,414213 < \sqrt 2 < 1,414214.\) La borne inférieure de l'intervalle est une valeur par défaut tandis que la supérieure est une valeur par excès.

Pour obtenir un encadrement avec un programme informatique, on emploie la technique du balayage (avec une boucle non bornée).

Par exemple, encadrons \(\sqrt 2.\)

\(\sqrt 2\) est la solution positive de l’équation \(x^2 - 2 = 0.\)

On initialise la variable à 1 (car on sait que \(1 < \sqrt 2 < 2).\)

Dans la boucle, nous incrémentons la variable de 0,1 car nous souhaitons un encadrement à \(10^{-1}\) près. Un algorithme plus élaboré permettrait à l’utilisateur de choisir l’amplitude de l’encadrement.