Des exercices sur la fonction exponentielle

Fonction exponentielle au bac

Cette page reprend les questions posées à l’épreuve du bac ES à Pondichéry en avril 2013, du moins celles qui étaient relatives à la fonction exponentielle. Il s’agissait en l'occurrence de questions à choix multiples et de deux parties d’un exercice (la troisième, non traitée ici, étant une application de la loi normale).

Une autre page de ce site reprend à peu près le même thème : deux exercices sur la fonction exponentielle.

 

QCM

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte (…). Aucune justification n’est demandée.

1- La fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = e^{-x^2}\) est une primitive de la fonction \(f\) définie par :

  • A- \(f(x) = - xe^{-x^2}\)
  • B- \(f(x) = -2xe^{-x^2}\)
  • C- \(f(x) = xe^{-x^2}\)
  • D- \(f(x) = e^{-2x}\)

2- Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (7x - 23)e^x.\) L’équation \(h(x) = 0...\)

  • A- a pour solution 2,718
  • B- a une solution sur \([0\,;+\infty[\)
  • C- a deux solutions sur \(\mathbb{R}\)
  • D- a une solution sur \(]-\infty\,;0]\)

3- On pose :

\[I = \int_0^1 {3{e^{3x}}} dx\]

On peut affirmer que :

  • A- \(I = e^x-1\)
  • B- \(I = 3e^3 - 3\)
  • C- \(I = 19,1\)
  • D- \(I = 1 - e^3\)

4- La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^3 - 9x\) est convexe sur l’intervalle :

  • A- \(]-\infty\,; +\infty[\)
  • B- \([0\,; +\infty[\)
  • C- \(]-\infty\,; 0]\)
  • D- \([-3\,; 3]\)

 

Exercice

Partie A

On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0\,; 6]\) par \(f(x) = 1 - (x + 1)e^{-x}\)

1- Montrer que \(f’(x) = xe^{-x}\) où \(f’\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(f.\)

2- Démontrer que l’équation \(f(x) = 0,5\) admet une solution unique \(\alpha\) sur l’intervalle \([0\,;6].\) Déterminer une valeur arrondie de \(\alpha\) à 0,01.

3- On admet que la fonction \(F\) définie sur \([0\,; 6]\) par \(F(x) = x + (x + 2)e^{-x}\) est une primitive de \(f\) sur \([0\,; 6].\) Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à \(10^{-3}\) de...

\[\int_0^6 {f(x)} dx\]

Partie B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction \(f\) définie dans la partie A pour \(x\) compris entre 0 et 6. \(x\) représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit. \(f(x)\) représente la production journalière de batteries en milliers.

1- Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 milliers soit 500 unités.

2- Déterminer une valeur arrondie à \(10^{-3}\) de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

 

Corrigé

QCM

1- La bonne réponse est B. Il suffit de dériver \(F(x).\) Rappelons que la dérivée de \(e^{u(x)}\) est \(u'(x)e^{u(x)}.\)

2- La bonne réponse est là aussi B. Pourquoi ? Un produit est nul lorsque l’un des deux facteurs est nul, ce qui ne risque pas d’arriver à \(e^x,\) strictement positif. Donc la seule solution est \(\frac{23}{7}\) qui est un nombre positif.

3- La réponse à donner est A parce que \(f(x) = 3e^{3x}\) a pour primitive \(F(x) = e^{3x}.\) Donc \(e^{3×1} - e^{3×0} = e^3 - 1\)

4- La bonne réponse est B. la question n’est pas très difficile. On peut tracer la courbe sur la calculatrice ou calculer la dérivée seconde de \(g.\) Ainsi \(g'(x) = 3 x^2 - 9\) et \(g’’(x) = 6x.\) La fonction est convexe là où sa dérivée seconde est positive, donc sur \([0\, ;+\infty[.\)

Exercice

A1- La dérivée n’est pas trop difficile à trouver, surtout quand la réponse est donnée ! Donc \((u(x)v(x))’= u’(x)v(x) + v’(x)u(x)\)  avec \(u(x) = -(x + 1),\) \(u’(x) = -1,\) \(v(x) = e^{-x}\) et \(v’(x) = -e^{-x}.\)

Donc \(f’(x) = -e^{-x} - (x + 1)(-e^{-x})\)

Factorisons par \(e^{-x}.\)

\(f’(x) = e^{-x}(1 + x - 1) = xe^{-x}\)

A2- Sur l’intervalle \([0\,; 6]\) \(f\) est croissante dans la mesure où sa dérivée est positive (et nulle en 0). Elle est continue puisque la fonction exponentielle est continue. La calculatrice nous indique que \(f(0) = 0\) (donc \(< 0,5\)) et \(f(6) = 0,98\) environ (donc \(> 0,5\)). Or 0,5 est compris entre \(f(0)\) et \(f(6).\) Dans ces conditions, le théorème des valeurs intermédiaires nous indique que l'équation \(f(x) = 0,5\) admet une seule solution sur l’intervalle \([0\,; 6].\) Une valeur arrondie est 1,68 (obtenue par la calculatrice).

A3- \(\int_0^6 {f(x)d(x)}\) \(= \left[ {x + (x + 2){e^{ - x}}} \right] _0^6\) \(= 6 + 8{e^{ - 6}} - 2\) \(= 4 + 8{e^{ - 6}}\)

Une valeur approchée est 4,020.

B1- Le nombre de mois est donné par \(\alpha,\) valeur pour laquelle \(f\) est égale à 0,5. Soit 1,68, que l’on multiplie par 30 pour obtenir un nombre de jours, en l’occurrence 50,4. C’est donc au 51ème jour que la production atteindra les 500 unités.

B2- Pour déterminer rapidement la valeur moyenne sur les six premiers mois, il faut utiliser le résultat obtenu en A3 (sauf à vouloir tout recommencer...).

\[\frac{1}{{6 - 0}}\int_0^6 {f(x)dx = \frac{1}{6} \times 4,02 = 0,67} \]

La production moyenne sur six mois s’établit donc à 0,67 milliers d’unités (soit 670 unités).

 

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