Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Quelques exercices sur la fonction exponentielle

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Fonction exponentielle au bac ES (Pondichéry 2013)

Cette page reprend les questions posées à l’épreuve du bac ES à Pondichéry en avril 2013, du moins celles qui étaient relatives à la fonction exponentielle. Il s’agissait en l'occurrence de questions à choix multiples et de deux parties d’un exercice (la troisième, non traitée ici, étant une application de la loi normale).

QCM

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte (…). Aucune justification n’est demandée.

1- La fonction F définie sur R par F(x) = e-x² est une primitive de la fonction f définie par :

QCM 1

2- Soit la fonction h définie sur R par h(x) = (7x – 23)ex. L’équation h(x) = 0...

QCM 2

QCM 2

3- On pose :

QCM 3

On peut affirmer que :

QCM 3

4- La fonction g définie sur R par g(x) = x³ – 9x est convexe sur l’intervalle :

QCM 4

Exercice

Partie A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par f(x) = 1 – (x + 1)e-x

1- Montrer que f’(x) = xe-x où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

2- Démontrer que l’équation f(x) = 0,5 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01.

3- On admet que la fonction F définie sur [0 ; 6] par F(x) = x + (x + 2)e-x est une primitive de f sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-3 de...

intégrale

Partie B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6. x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit. f(x) représente la production journalière de batteries en milliers.

1- Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 milliers soit 500 unités.

2- Déterminer une valeur arrondie à 10-3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

Éléments de correction

QCM

1- La bonne réponse est B. Il suffit de dériver F(x). Rappel (eu)’ = u’eu

2- La bonne réponse est là aussi B. Pourquoi ? Un produit est nul lorsque l’un des deux facteurs est nul, ce qui ne risque pas d’arriver à ex, strictement positif. Donc la seule solution est 23 / 7 qui est un nombre positif.

3- La réponse à donner est A parce que 3e3x a pour primitive e3x. Donc e3×1 – e3×0 =  – 1

4- La bonne réponse est B. la question n’est pas très difficile. On peut tracer la courbe sur la calculatrice ou calculer la dérivée seconde de g. Ainsi g’(x) = 3 – 9 et f’’(x) = 6x. La fonction est convexe là où sa dérivée seconde est positive, donc sur [0 ; +∞[.

Exercice

A1- La dérivée n’est pas trop difficile à trouver, surtout quand la réponse est donnée ! Donc (uv)’ = u’v v’u  avec u = -(x + 1), u’ = -1, v = e-x et v’ = -e-x.

Donc f’(x) =- e-x – (x + 1)(-e-x)

Factorisons par e-x

f’(x) = e-x (1 + x – 1) = xe-x

A2- Sur l’intervalle [0 ; 6] f est croissante dans la mesure où sa dérivée est positive (et nulle en 0). Elle est continue puisque la fonction exponentielle est continue. La calculatrice nous indique que f(0) = 0 (donc < 0,5) et f(6) = 0,98 environ (donc > 0,5). Dans ces conditions, le théorème des valeurs intermédiaires nous indique que f(x) = 0,5 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 6]. Une valeur arrondie est 1,68 (obtenue par la calculatrice).

A3-

intégrale

Une valeur approchée est 4,020.

B1- Le nombre de mois est donné par α, valeur pour laquelle f est égale à 0,5. Soit 1,68, que l’on multiplie par 30 pour obtenir un nombre de jours, en l’occurrence 50,4. C’est donc au 51ème jour que la production atteindra les 500 unités.

B2- Pour déterminer rapidement la valeur moyenne sur les six premiers mois, il faut utiliser le résultat obtenu en A3 (sauf à vouloir tout recommencer...).

valeur moyenne

La production moyenne sur six mois s’établit donc à 0,67 milliers d’unités (soit 670).

 

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