Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Deux exercices sur fonction exponentielle et convexité

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Exponentielle et convexité en terminale ES

Les deux exercices qui suivent s’adressent surtout aux élèves de terminale ES. Ils permettent de vérifier que deux chapitres de leur programme de maths ont bien été compris, en l’occurrence la convexité et la fonction exponentielle de base e.

C’est parti.

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe-x.

1- Calculer sa dérivée f’ puis sa dérivée seconde f’’.

2- Déterminer l’équation de sa tangente t en 0.

3- Étudier les variations de f puis de f’.

4- En déduire que la courbe Cf représentative de f admet un point d’inflexion. Préciser ses coordonnées.

5- Étudier la convexité de f suivant les valeurs de x.

6- Tracer Cf et t.

Exercice 2

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = ax + b + ex, a et b étant deux réels.

1- La fonction g et sa dérivée g’ sont représentées ci-dessous. Expliquer pourquoi la courbe rouge est celle qui représente g.

Cg et Cg'

2- Déterminer graphiquement a et b (la courbe rouge coupe l’axe des ordonnées en 2 et la verte en 0,5).

3- Étudier la convexité de g suivant les valeurs de x.

Corrigé 1

1- f’ est la dérivée d’un produit de fonctions. Soit u = x et u’ = 1, ve-x et v’ = -e-x.

Donc f’(x) = e-x + x(-e-x) = (1 – x)e-x

La dérivée seconde f’’ est elle aussi une dérivée d’un produit de fonctions. Soit u = 1 – x et u’ = -1, ve-x et v’ = -e-x.

Donc f’’(x) = -e-x – e-x(1 – x) = e-x(x – 2)

2- Tangente en 0 : y = f(0) + f’(0) (x – 0)

y = 0 + e0x
y = x

3- Signe de f’ : dans la mesure où e-x > 0, le signe de f’(x) est le signe de 1 – x. Elle est positive sur l’intervalle ]-∞ ; 1] et négative sur [1 ; +∞[. Donc f est croissante sur ]-∞ ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[.

Signe de f’’ : e-x > 0, donc le signe de f’’(x) est le signe de x – 2. Elle est négative sur l’intervalle ]-∞ ; 2] et positive sur [2 ; +∞[. Donc f’ est décroissante sur ]-∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[.

4- Cf admet un point d’inflexion. Nous savons que son abscisse est 2 car f''(2) = 0. f(2) = 2e-2. Les coordonnées du point d’inflexion sont (2 ; 2e-2).

5- Sur ]-∞ ; 2], f’ est décroissante donc f est concave. Sur [2 ; +∞[, f’ est croissante donc f est convexe.

6- Et voici Cf dans toute sa splendeur, tracée par GeoGebra :

Cf

Corrigé 2

1- On remarque que la fonction représentée en rouge est décroissante puis croissante. La fonction représentée en vert est négative puis devient positive précisément lorsque l’autre devient croissante. Donc nous pouvons conjecturer que g est représentée en rouge et g’ en vert. Le hic, c'est que la fonction représentée en vert est strictement croissante tandis que l’autre est strictement positive. Nous pourrions donc aussi conjecturer la proposition contraire ! Y aurait-il un piège ? Non car sur l’intervalle qui se termine vers -2, les nombres dérivés de la « fonction verte » sont quasi nuls (coefficients directeurs des tangentes sur cet intervalle). Ils ne peuvent donc pas correspondre aux valeurs comprises en 2 et 3, visualisables par la courbe rouge. g est bien la rouge.

2- Nous savons que g(0) = 2

Donc b + e0 = 2. Comme e0 = 1, nous en déduisons que b = 1.

g’(x) = aex. Nous savons que g’(0) = 0,5.

Donc a + 1 = 0,5 et a = -0,5.

Par conséquent g(x) = -0,5x + 1 + ex et g’(x) = -0,5 + ex.

3- g’(x) est strictement croissante sur R puisque la fonction exp est strictement croissante (on peut aussi passer par g’’(x) = ex > 0 pour le prouver).

Par conséquent, g a le bonheur d’être convexe sur R.

 

convexe / concave

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés