Implication et équivalence
Les notions d’implication et d’équivalence sont deux incontournables des démonstrations mathématiques. Cette page les introduit puis illustre l’équivalence par des démonstrations d’égalités. Pour l’essentiel, son contenu fait partie du bagage qu’un élève de seconde doit acquérir (hormis la notion de transitivité qui n’est pas au programme).
Mais d’abord, qu’est-ce qu’une proposition ?
Proposition
Une proposition est un énoncé mathématique vrai ou faux. On peut soit la démontrer soit la réfuter (il existe toutefois des propositions vraies qui ne sont pas démontrables : les axiomes).
Implication
Soit \(A\) une hypothèse et \(B\) une conclusion. La proposition de forme « si \(A,\) alors \(B\) » est une implication, ou proposition conditionnelle.
On dit alors « \(A\) implique \(B\) » et on le note \(A ⇒ B.\)
L’implication est transitive : si \(A ⇒ B\) et \(B ⇒ C,\) alors \(A ⇒ C.\)
C’est la base du raisonnement par contraposée (équivalence entre une implication et sa contraposée) : si \(A ⇒ B,\) alors \(\rm{non}\;B ⇒ \;\rm{non}\;A.\)
Exemples
1- Être Belge implique être Européen (transitivité : être Européen implique être Terrien, donc être Belge implique être Terrien).
2- Soit deux réels \(a\) et \(b\) ; \(a> 0\) et \(b > 0\) implique \(ab > 0.\)
Réciproque
La réciproque de l’implication \(A ⇒ B\) est \(B ⇒ A.\) Elle peut être vraie ou fausse. Par exemple, les propositions « être Européen implique être Belge » et « \(ab > 0 \Rightarrow a > 0 \;\rm{et} \; b > 0\) » sont deux implications réciproques fausses.
Pour démontrer qu’une implication est fausse, il suffit de prendre un exemple pour lequel elle ne fonctionne pas. C’est le principe du contre-exemple.
Reprenons notre proposition « \(ab > 0\) \(⇒\) \(a > 0 \;\rm{et}\;b > 0\) » est fausse car si \(a = -1\) et \(b = -2,\) alors \(ab = 2,\) donc \(ab > 0.\)
Équivalence
Lorsqu’une implication et sa réciproque sont vraies, les propositions sont équivalentes. Le symbole de l’équivalence est \(⇔.\) On utilise aussi l’expression « si et seulement si ».
Exemples
\(2x - 2 = 0\) \(⇔\) \(x = 1\) (le symbole \(⇔\) est donc celui que l’on retrouve à chaque étape de transformation d’une équation ou d’une inéquation).
Le triangle est rectangle \(⇔\) le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (le théorème de Pythagore et sa réciproque sont tous les deux vrais).
Il existe plusieurs techniques pour démontrer une équivalence mais en général, on montre que les deux implications sont vraies.
Démonstration d’une égalité
Pour démontrer qu’une égalité est vraie, on peut soit transformer un membre jusqu’à obtenir le second (premier cas), soit transformer séparément les deux membres de façon à obtenir une unique autre expression (deuxième cas). D’autres techniques existent mais sont plus rarement employées : soit montrer que la différence entre les deux expressions est nulle, soit montrer que leur quotient est égal à 1.
1er cas : démontrer que pour tout reél \(x,\) on vérifie l’égalité \((3x - 1)(x + 4)\) \(=\) \(3x^2 + 11x - 4\)
La façon la plus simple de démontrer qu’une forme factorisée est égale à une forme développée consiste à partir de la forme factorisée puis la développer (puis la réduire).
Soit \(A = (3x - 1)(x + 4)\) et \(B = 3x^2 + 11x - 4\)
\(A = (3x - 1)(x + 4)\)
\(⇔ A = 3x^2 + 12x - x - 4\)
\(⇔ A = 3x^2 + 11x - 4\)
\(⇔ A = B\)
2e cas : démontrer que pour tout réel \(x,\) on vérifie l’égalité \((x + 4)^2 - 1\) \(=\) \((x + 3)(x + 5)\)
Au premier coup d’œil, on remarque qu’il n’est pas pratique de passer d’une expression à l’autre. Mais si on les transforme toutes les deux en les développant (ce qu’un élève de seconde est capable de faire) et que l’expression développée est la même dans les deux cas, alors il est limpide que l’égalité est démontrée.
Soit \(A = (x + 4)^2 - 1\)
\(A = (x + 4)^2 - 1\)
\(⇔ A = x^2 + 8x + 16 - 1\)
\(⇔ A = x^2 + 8x + 15\) (il était également possible d’arriver à ce résultat en factorisant l’identité remarquable \(a^2 - b^2\).
Nommons \(C\) cette expression. \(C = x^2 + 8x + 15.\) Nous avons \(A = C.\)
Soit \(B = (x + 3)(x + 5)\)
\(B = (x + 3)(x + 5)\)
\(⇔ B = x^2 + 5x + 3x + 15\)
\(⇔ B = x^2 + 8x + 15\)
\(⇔ B = C\)
\(⇔ B = A\)
