La dérivée de la fonction logarithme

Fonction logarithme et dérivation

Cette page a été rédigée pour les élèves de terminale générale. Après de brefs rappels sur la fonction logarithme népérien, vous y trouverez la démonstration de sa dérivée (au programme de la spécialité maths) puis quelques exercices.

Mais d’abord, un coup de projecteur sur l’inventeur des logarithmes.

 

John Napier

Les logarithmes sont dus à John Napier, personnalité étrange née en 1550.

    « Le baron écossais John Napier était considéré par ses voisins comme un sorcier qui pratiquait les sciences occultes. Vêtu de noir, un coq noir comme du charbon sur l’épaule, il déambulait d’un air louche dans les alentours de son château, marmonnant ce qui ressemblait à une algèbre apocalyptique, répétant que le Jugement dernier aurait lieu entre 1688 et 1700. » Telle est la surprenante description que Marcus du Sautoy (n. 1965), professeur de mathématiques à l’université d’Oxford, fait de John Napier dans son livre La Musique des nombres premiers. (Napier, l’origine du calcul et des logarithmes, coll. Génies des mathématiques, éd. RBA)

Alchimiste, inventeur d’une pompe à eau et d’engins de guerre, il estimait néanmoins que son principal apport à l’humanité était son analyse mathématique de l’Apocalypse selon Saint Jean grâce à laquelle il prédit une date approximative de la fin du monde. Objectif raté.

À cette époque il existait des calculateurs professionnels chargés d’effectuer des opérations quelque peu compliquées (par exemple pour l’astronomie). Napier consacra vingt ans à élaborer les tables de logarithmes qui, permettant d’additionner au lieu de multiplier, leur fut une aide précieuse et suscita un engouement rapide en Europe (ce qui est plutôt rare dans le domaine des mathématiques).

planètes

Toutefois, ce n’est que bien après la mort de Napier que la plupart des propriétés des logarithmes furent découvertes, notamment celles de la fonction logarithme (triste époque, la notion de fonction n’existait pas encore du vivant de Napier !).

 

Rappels

La fonction logarithme népérien, notée \(\ln(x),\) est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, définie pour tout \(x\) strictement positif.

En d’autres termes, \(\ln(e^x) = x.\) En page de logarithmes, vous pouvez visualiser les courbes représenttaives des fonctions logarithme et exponentielle.

Remarque : \(\ln(e^x)\) est défini sur \(\mathbb{R}\) puisque \(e^x > 0.\) On peut aussi poser \(e^{\ln x} = x\) mais cette fois uniquement sur \(\mathbb{R}^*_+.\)

La fonction \(\ln\) est continue et strictement croissante sur son ensemble de définition. Ses deux valeurs remarquables sont \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1.\)

Ses limites sont \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln x =  - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \ln x =  + \infty \)

Soit la fonction \(f : x ↦ \ln x.\) Pour tout \(x > 0,\) sa dérivée s’écrit \(f’(x) = \frac{1}{x}\)

La dérivée de la fonction composée \(\ln(u(x)),\) appelée dérivée logarithmique, s’écrit \(f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)}.\)

Les propriétés les plus remarquables sont énumérées en page de propriétés des logarithmes. Elles permettent notamment de résoudre des équations et des inéquations.

 

Démonstration de la dérivée

Nous admettrons que la fonction logarithme est dérivable sur son ensemble de définition qui, rappelons-le, est \(\mathbb{R}^*_+.\)

Soit \(f(x) = x.\) Donc sa dérivée \(f’(x) = 1.\)

On peut aussi poser, pour tout \(x > 0,\) \(f(x) = e^{\ln x}\) puisque les fonctions logarithme et exponentielle sont réciproques.

La dérivée de \(f(x)\) peut donc s’écrire \(\ln’(x) × e^{\ln x}\) (voir la dérivée d’une fonction \(f :x ↦ e^{u(x)}\)).

Donc \(f’(x) = \ln’(x) × x.\)

Comme \(f’(x) = 1\) il s’ensuit que \(x\ln’(x) = 1\) donc \(\ln’(x) = \frac{1}{x}.\)

Lorsque vous aurez réussi les exercices ci-dessous, vous pourrez tenter la dérivée de l'exercice sur le calcul d'aire.

 

Exercices

Dériver les fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}^*_+\)

  1. \(f(x) = \frac{x^2}{2} \ln x\)
  2. \(g(x) = \frac{\ln x}{x}\)
  3. \(h(x) = \ln ( \sqrt{x})\)
  4. \(l(x) = x - x \ln x\)

 

Corrigés

1- Dérivée d’une fonction produit avec \(u(x) = \frac{x^2}{2},\) \(u’(x) = x,\) \(v(x) = \ln x\) et \(v’(x) = \frac{1}{x}\)

\(f’(x) = x\ln x + \frac{x^2}{2} × \frac{1}{x}\)
\(⇔ f’(x) = x \ln x + \frac{x}{2}\)
\(⇔ f’(x) = x(\ln x + \frac{1}{2})\)

2- Dérivée d’une fonction quotient avec \(u(x) = \ln x,\) \(u’(x) = \frac{1}{x},\) \(v(x) = x\) et \(v’(x) = 1.\)

\[f’(x) = \frac{\frac{1}{x} × x - \ln x}{x^2}\]
\[⇔ f'(x) = \frac {1 - \ln x}{x^2}\]

3- Dérivée d’une fonction composée avec \(u(x) = \sqrt{x}\) et \(u’(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\)

\[h’(x) = \frac {\frac{1} {2 \sqrt{x}}} { \sqrt{x}} \]
\(⇔ h’(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} × \frac{1}{ \sqrt{x}}\)
\(⇔ h’(x) = \frac{1}{2x}\)

Une autre façon de dériver \(h\) est de poser \(\ln ( \sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln x\) (voir les propriétés des logarithmes).

Donc \(h’(x) = \frac{1}{2} × \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}\)

4- Autre fonction composée.

\(l’(x) = 1 - (1 × \ln x + x × \frac{1}{x})\)
\(⇔ l’(x) = 1 - \ln x - 1\)
\(⇔ l’(x) = -\ln x\)

Là encore une autre voie est possible.

En factorisant, \(l(x) = x(1 - \ln x)\)

\(l’(x) = (1 - \ln x) + x × -(\frac{1}{x})\)
\(⇔ l’(x) = 1 - \ln x - 1\)
\(⇔ l’(x) = -\ln x\)

 

logarithmes