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(et fondements mathématiques)

Le logarithme décimal

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Introduction au logarithme décimal

Le logarithme décimal est un outil mathématique incontournable dans diverses disciplines comme la physique (décibels) ou la chimie (pH). Nous l’aborderons de deux façons. La première est celle qui est privilégiée pour être enseignée aux élèves de terminale ST2S. La seconde, qui suppose la connaissance préalable du logarithme népérien, est plus adaptée aux élèves de terminale S.

Première approche

Pour tout réel x > 0, il existe un nombre tel que 10a = x. Ce nombre a est le logarithme décimal de x. Il se note log x. La fonction logarithme décimal est celle qui associe à tout réel strictement positif son logarithme décimal.

Ainsi :

logarithme décimal

Donc log(10a) = a

Exemples :

log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = log 10² = 2
log 0,01 = -2

Le calcul de logarithmes décimaux autres que ceux des puissances de 10 nécessite une calculatrice ou un logiciel.

La fonction log est strictement croissante sur son ensemble de définition. Sa représentation graphique est la suivante (réalisée avec Sine qua non) :

logarithme décimal

Elle est strictement négative sur l'intervalle ]0 ; 1[ et positive au-delà.

Propriétés

La plus importante, celle qui permet la démonstration de toutes les autres, est la transformation de produits en sommes :

log ab = log a + log b

… pour tous réels a et b strictement positifs. De même :

log (1/a) = -log a

log(a/b) = log a - log b

Enfin, pour tout réel x

log a^x = x log a

Exemple extrait de l’épreuve du bac ST2S, 2013 :

Résoudre l’inéquation 410 × 0,95n ≤ 205

 0,95n  0,5

La fonction log étant strictement croissante, on peut écrire :

log 0,95n  log 0,5
n log 0,95 log 0,5

Il ne faut pas oublier que log 0,95 est un nombre NÉGATIF. Donc le sens de l’inégalité change !

n>=log0,5/log0,95

La conversion en nombre décimal n’était pas demandée dans l’énoncé mais pour que vous puissez vous assurer que vous savez bien utiliser votre calculatrice, vérifiez que l'on obtient n  13,51 environ.

Seconde approche

log x = ln x / ln 10

On retrouve très facilement cette égalité à partir de la définition vue plus haut.

La fonction logarithme décimal est donc la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 pour une valeur de 10. C’est la fonction réciproque de f(x) = 10x pour tout x strictement positif (voir la page exponentielle de base a).

Elle est dérivable sur son ensemble de définition. La dérivée est elle aussi très simple à déterminer à partir de l'égalité ci-dessus. Soit f la fonction logarithme décimal et f’ sa dérivée :

f'(x) = 1 / (x ln 10)

Mais encore...

Pour information, le niveau de l’intensité sonore est mesuré en Bel :

L = log (I / I0)

I0 est le seuil d’audibilité et I est l’intensité sonore. Lorsqu’on multiplie cette grandeur par 10, on obtient une mesure en décibels.

Par ailleurs, la base d’un logarithme n’est pas forcément e ou 10. Tout réel a strictement positif peut être la base d’un logarithme. Si a = 2 on parle de logarithme binaire. Un logarithme de base a est noté loga. À noter que si a ]0 ; 1[ la fonction est décroissante.

Par exemple, voici la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = log 0,5x. Vous remarquerez qu’elle passe par le point de coordonnées (0,5 ; 1) :

log0,5

Voir aussi la page consacrée aux repères logarithmiques et semi-logarithmiques.

 

 

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