Le logarithme décimal

Introduction au logarithme décimal

Le logarithme décimal est un outil mathématique incontournable dans diverses disciplines comme la physique (décibels...) ou la chimie (pH...). Nous l’aborderons de deux façons. La première est privilégiée pour l'enseignement en classe de terminale technologique. La seconde, qui suppose la connaissance préalable du logarithme népérien, est plus adaptée aux élèves de terminale générale.

chimiste

 

Première approche

Pour tout réel \(x > 0,\) il existe un nombre tel que \(10^a = x.\) Le réel \(a\) est le logarithme décimal de \(x.\) Il se note \(\log x.\) La fonction logarithme décimal est celle qui associe à tout réel strictement positif son logarithme décimal.

Ainsi, \(\log x = a \Leftrightarrow x = 10^a\)

Et donc \(\log 10^a = a\)

Exemples :

\(\log 1 = 0\)
\(\log 10 = 1\)
\(\log 100 = \log 10^2 = 2\)
\(\log 0,01 = -2\)

Le calcul de logarithmes décimaux autres que ceux des puissances de 10 nécessite une calculatrice ou un logiciel.

La fonction log est strictement croissante sur son ensemble de définition. Sa représentation graphique est la suivante (réalisée avec Sine qua non) :

logarithme décimal

Elle est strictement négative sur l'intervalle \(]0\,;1[\) et positive au-delà.

 

Propriétés

La plus importante des propriétés, celle qui permet la démonstration de toutes les autres, est la transformation du produit en somme :

\(\log ab = \log a + \log b\) pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs. De même :

\(\log \frac{1}{a} = -\log a\)

\(\log \frac{a}{b} = \log a - \log b\)

Enfin, pour tout réel \(x,\) \(\log a^x = x \log a\)

Vous pouvez vous entraîner en page d'exercices sur logarithmes décimaux. Voici également un exemple extrait d'une épreuve du bac ST2S, 2013 :

Résoudre l’inéquation \(410 × 0,95^n \leqslant 205\)

\(⇔ 0,95^n \leqslant 0,5\)

La fonction log étant strictement croissante, on peut écrire :

\(\log 0,95^n \leqslant \log 0,5\)
\(n \log 0,95 \leqslant \log 0,5\)

Il ne faut pas oublier que log 0,95 est un nombre négatif. Donc le sens de l’inégalité change !

\(n \geqslant \frac{\log 0,5}{\log 0,95}\)

La conversion en forme décimale n’était pas demandée dans l’énoncé mais pour que vous puissez vous assurer que vous savez bien utiliser votre calculatrice, vérifiez que l'on obtient \(n \geqslant 13,51\) environ.

 

Seconde approche (terminale générale)

\(\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}\)

On retrouve très facilement cette égalité à partir de la définition vue plus haut.

La fonction logarithme décimal est donc la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 pour une valeur de 10. C’est la fonction réciproque de \(f:x \mapsto 10^x\) pour tout \(x > 0\) (voir la page exponentielle de base \(a\)).

Elle est dérivable sur son ensemble de définition. La dérivée est elle aussi très simple à déterminer à partir de l'égalité ci-dessus. Soit \(f\) la fonction logarithme décimal et \(f’\) sa dérivée :

\(f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}\)

 

Mais encore...

Pour information, le niveau de l’intensité sonore est mesuré en bel : \(L = \log \frac{I}{I_0}\)

\(I_0\) est le seuil d’audibilité et \(I\) est l’intensité sonore. Lorsqu’on multiplie cette grandeur par 10, on obtient une mesure en décibels.

Par ailleurs, la base d’un logarithme n’est pas toujours \(e\) ou 10. Tout réel \(a\) strictement positif peut être la base d’un logarithme. Si \(a = 2\) on parle de logarithme binaire. Un logarithme de base \(a\) est noté \(\log_a.\) À noter que si \(a \in ]0\,; 1[\) la fonction est décroissante.

Par exemple, voici la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \log 0,5x.\) Vous remarquerez qu’elle passe par le point de coordonnées \((0,5\,;1)\) :

log0,5

Voir aussi la page consacrée aux repères logarithmiques et semi-logarithmiques.