Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les moyennes non arithmétiques

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Moyennes quadratique, harmonique et géométrique

A priori, rien de plus basique qu’une moyenne. Or, il existe théoriquement une infinité de façons de calculer une moyenne. N’allez pas croire pour autant que je vais vous enseigner à falsifier les chiffres...

Supposons que l'on veuille résumer une distribution à une seule variable. Dans la quasi-totalité des cas, on calcule la moyenne arithmétique, éventuellement pondérée. Mais parfois, cette moyenne n’est pas adaptée aux circonstances.

Nous allons passer en revue les trois moyennes non arithmétiques les plus courantes (enfin, les moins rares…) et leurs utilisations.

La moyenne quadratique (Root Mean Square)

C’est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés (moment non centré d’ordre 2).

moyenne quadratique

Un écart-type est donc une moyenne quadratique des écarts entre les observations et leur moyenne arithmétique. D’une manière générale, elle est surtout utilisée lorsqu’on raisonne sur des carrés.

Il n’existe pas de fonction spécifique sur Excel mais on s'en passe facilement…

La moyenne harmonique (harmonic mean)

C’est le moment d’ordre -1 ou, pour être un peu plus clair, l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses. Ainsi, sa version « pondérée » apparaît ainsi :

moyenne harmonique

On l’utilise lorsque 1 / x signifie quelque chose. Mais la moyenne arithmétique permet toujours de retrouver, plus ou moins facilement, le même résultat.

L’exemple habituel est celui de la vitesse moyenne calculée sur un parcours en plusieurs étapes. Si un poids lourd roule à 110 km/h sur 100 km d’autoroute puis à 50 km/h sur 100 km de route, sa vitesse moyenne n’est pas de 80 km/h mais elle est inférieure puisqu’il a roulé plus longtemps à vitesse réduite qu’à vitesse élevée. Sa vitesse moyenne est de 2 / [(1 / 110) + (1 / 50)] = 68,75 km/h, chiffre que l’on retrouve sur Excel avec la fonction MOYENNE.HARMONIQUE.

Pourquoi avoir choisi la moyenne harmonique ? La vitesse est une distance rapportée à un temps. Mais l'inverse, c'est-à-dire un temps rapporté à une distance, a aussi une signification. C'est la réponse à la question : « quel temps faut-il pour parcourir telle distance ? »

Autre exemple pour monter le lien qui existe entre cette moyenne et l’arithmétique. Un fabricant de farces et attrapes fait vérifier par un testeur courageux trois lots de boules puantes, un plaisantin mal intentionnée ayant subtilisé quelques pièces pour y introduire du 5 de Chanel. Chaque lot inclut des boules défectueuses.

exemple moyenne harmonique

Comme on relève 10 pièces défectueuses sur 110, le taux moyen est de 9,1%. C’est une moyenne arithmétique. Si l'on souhaite retrouver ce résultat directement à partir de la colonne « taux », on l'obtient en posant 110 / [(50 × 0,12) + (40 × 0,075) + (20 × 0,05)], solution de bon sens qu’on aurait trouvé sans même savoir que l’on vient de calculer une moyenne harmonique pondérée.

Comme quoi il ne fallait pas paniquer devant la formule.

NB : là encore, observons que l'inverse d'un taux signifie bien quelque chose. En l'occurrence, la réponse à la question « combien de pièces faut-il avoir en moyenne pour trouver une défectueuse ? »

La moyenne géométrique (geometric mean)

C'est la plus utilisée des trois.

Lorsque les observations sont cumulatives, on utilise une moyenne géométrique. Il s’agit d’un produit (racine énième du produit des n observations), qui peut d’ailleurs être transformé en somme par la magie des logarithmes. Cette définition exclut les nombres négatifs. La formule de la moyenne géométrique pondérée est elle aussi fort majestueuse :

moyenne géométrique

Illustrons. Soit une production de 100. Sur l’année, la progression trimestrielle est de 2 % puis 3 % puis 1 % puis 1 %. Quelle est la progression trimestrielle moyenne ?

Calculons ceci de trois façons différentes.

Première méthode : quel est le résultat final ?

100 × 1,02 × 1,03 × 1,01 × 1,01 = 107,17

Donc 100 × (1 + r)⁴ = 107,17

Utilisons les logarithmes pour simplifier notre affaire : ln 100 + 4ln(1 + r) = ln 107,17

4,605 + 4ln(1 + r) = 4,674, donc ln(1 + r) = 0,173 et rexp(0,173) – 1, soit 1,747 %.

Deuxième méthode : calculons le produit 1,02 × 1,03 × 1,01 × 1, 01 = 7,17 dont la racine quatrième (ou la puissance ¼) est égale à 1,01747.

Troisième méthode : on entre sur Excel 1,02, 1,03, 1,01 et 1,01 puis on utilise la fonction MOYENNE.GEOMETRIQUE. On obtient 1,01747 et l'on conclut que le taux de croissance moyen s'établit à 1,747 %. Évidemment, c'est plus simple…

La moyenne géométrique est utilisée en mathématiques financières pour trouver un taux proportionnel (exemple en page annuités). D'une façon plus générale, elle permet de calculer la rentabilité moyenne annuelle d'un investissement sur une longue période.

Pour conclure, précisons que sur un même échantillon la moyenne la plus élevée est la quadratique, suivie de l'arithmétique, la géométrique et enfin l'harmonique.

 

harmonie

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés