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(et fondements mathématiques)

La convexité d'une fonction d'une variable

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Convexité et concavité d'une fonction d'une variable

Le principe de l’étude de convexité d’une fonction d’une variable n’est pas très compliquée. En France, cet aspect de l'étude d'une fonction est enseigné en terminale ES depuis la rentrée 2012 (mais il est curieusement absent du programme de terminale S). Voir page initiation à la convexité. Dans certains domaines comme l'économie, c’est surtout la convexité de fonctions de deux variables ou plus qui est étudiée (mais pas au lycée !).

Graphiquement, il est généralement simple d’apprécier au moins sommairement la convexité d’une fonction à partir de sa courbe représentative. Il faut s’imaginer la surface délimitée par la courbe et le HAUT du plan. Si l'aire dessine une forme convexe, à l’instar de celles formées par les courbes qui représentent la fonction carré ou la fonction valeur absolue, il y a convexité. Dans le cas contraire, la fonction est concave à l’exemple de la fonction logarithme népérien sur R+.

Il est bien évident que la convexité d’une fonction peut changer selon les intervalles. À titre d’exemple, la fonction sinus est convexe sur [-π ; 0], concave sur [0 ; π], convexe sur [π ; 2π], etc.

Quant aux fonctions affines, elles sont à la fois convexes et concaves.

On remarque que si la fonction f est concave alors -f est convexe et inversement.

Définition de la convexité : si a et b sont deux valeurs que peut prendre la fonction et si λ est un nombre compris entre 0 et 1 alors…

convexité

NB : cette formule n'est pas exigible au programme de terminale.

Lorsque l’inégalité est stricte, la fonction est STRICTEMENT convexe et lorsqu'elle est dans l’autre sens, la fonction est concave.

Interprétation géométrique : si l’on trace une corde (un segment de droite) entre les deux valeurs prises par a et b (sur la courbe) et que la corde est au-dessus de la courbe, alors la fonction est convexe (et donc concave si la corde est dessous). Ceci est assez intuitif.

Notons qu’une somme de fonctions convexes est une fonction convexe et inversement, en additionnant des fonctions concaves, on obtient une fonction qui s'avère immanquablement concave. Par ailleurs, si l’on multiplie une fonction convexe avec un réel positif, la fonction obtenue est elle aussi convexe.

Une autre façon d’étudier la convexité d’une fonction dérivable sur un intervalle est d’étudier la position de sa courbe par rapport aux tangentes sur cet intervalle. Là aussi, il est intuitif que si la tangente est sous la courbe la fonction est convexe et réciproquement elle est concave si la tangente est au-dessus. Ce n’est pas la façon la plus pratique de déterminer la convexité d'une fonction…

Ainsi, une fonction est convexe là où sa dérivée est croissante et concave là où elle est décroissante. Par conséquent : elle est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive.

Du coup, si la fonction est deux fois dérivable, il est souvent assez simple d'établir sa convexité et c’est la méthode habituellement utilisée. Prenez la fonction exponentielle, par exemple. Sa dérivée n’est autre qu’elle-même (donc croissante) et sa dérivée seconde (toujours elle-même) est positive. La fonction est convexe.

Une fonction continue sur un intervalle change de convexité à un point d’inflexion (dérivée seconde nulle).

Au voisinage d’un point, une fonction est LOCALEMENT convexe ou concave.

Exemple :

Étudions la convexité de la fonction f définie sur R par f(x) = exp(-x – e-x). Avis aux statisticiens : il s’agit de la fonction de densité de la loi de Gumbel standardisée. On devine qu’il existe des points d’inflexion mais visuellement, ils ne sont pas faciles à localiser précisément.

densité de la loi de Gumbel

Nous avons f’(x) = (-1 + e-x) exp(-x – e-x). Explications en page d'exercices de dérivation avec exponentielles. Le signe de cette dérivée est le même que le signe de (-1 + e-x), donc positif sur ]-∞ ; 0[ et négatif sur ]0 ; +∞[ (ce qui paraît normal pour une fonction de densité centrée).

La dérivée seconde est un peu longue à calculer. Nous sommes en présence d’une forme (uv)’ = u’v v’u.

u = -1 + e-x
u’ = -e-x
v = exp(-x – e-x)
v’ = (-1 + e-x) exp(-x – e-x)

f’’(x) = -e-x exp(-x – e-x) +  (-1 + e-x) exp(-x – e-x)( -1 + e-x)
f’’(x) = exp(-x – e-x)[ -e-x + ( -1 + e-x)²]

exp(-x – e-x) étant positif, nous ne nous intéressons qu’au second terme du produit. Il n’est pas très pratique à manipuler aussi un changement de variable semble judicieux. Soit Xe-x.

Ceci revient à étudier la fonction trinôme g(X) = -X + (-1+ X)², c’est-à-dire  – 3X + 1. Le discriminant est égal à 5. Les racines sont les suivantes :

racines X1 et X2

Le polynôme est négatif entre les racines et positif en-dehors. Revenons à notre variable initiale et nous obtenons…

racines

Des valeurs approchées sont -0,9624 et 0,9624. La fonction est concave entre ces deux valeurs et convexe en-dehors.

Vérifions visuellement. Ci-dessous en noir figure la courbe de f’ et en rouge celle de f’’.

dérivées

 

convexité

 

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