Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le développement limité de Mc Laurin

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DL(0) usuels et exemple

Un développement limité (DL) au voisinage de zéro porte le nom de Colin Mc Laurin. Vu sous cet angle, ce grand mathématicien écossais n’aurait rien fait d’autre que d’appliquer la formule de Taylor en un voisinage particulier, ce qui est évidemment faux. Toutefois, l’objet de ce site n’est pas de rendre justice en relatant les apports des uns et des autres aux mathématiques mais d’expliquer l’usage de quelques outils. En l’occurrence, voici quelques DL usuels au voisinage de 0 (on remarque vite que ces égalités deviennent ineptes si x s'éloigne de 0), ainsi qu’un petit exercice.

DL(0) usuels :

DL usuels

NB : le DL(0) de ln x s’obtient facilement puisqu’il suffit remplacer les x de la dernière formule par des (x – 1).

Fonctions trigonométriques :

DL de fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques réciproques :

DL fonctions trigo réciproques

Fonctions hyperboliques :

DL de fonctions hyperboliques

Fonctions hyperboliques réciproques :

DL fonctions hyperboliques réciproques

Rappel de la formule générale :

DL de Mc Laurin

Exercice

Trouver de deux façons différentes un polynôme d’ordre 3 qui, au voisinage de 0, présente un comportement proche de la fonction suivante :

exemple

Première technique, avec les dérivées successives (application de la formule).

1- On sait que le sinus de 0 est égal à 0. Donc, f(0) = e0 = 1

2- La dérivée d’une exponentielle a pour forme u’eu. La dérivée de sin x est cos x. donc f’(x) = cos x esin x et f’(0) = 1 × 1 = 1

3- Quelle est la dérivée seconde ? La dérivée première se présentant sous une forme u × v, la dérivée seconde a pour structure u’v + v’u avec u = cos x (donc u’ = -sin x) et v = esin x (donc v’ = cos x esin x).

dérivée seconde

Donc, f’’(0) = 1

4- Terminons par la dérivée d’ordre 3. La tâche devient rude.

Le premier terme : (-sin x esin x)’ =  -cos x esin x – sin x cos x esin x, donc , en 0, -1 – 0 = -1

Le second terme : (cos² x esin x)’. Sachant que la dérivée de cos² x est 2cos x × –sin x nous avons (2cos x × –sin x)esinx + cos³x esin x = 0 + 1 = 1.

Donc, f(3)(0) = -1 + 1 = 0

Conclusion : le DL3(0) de f(x) est :

DL3(0)

Seconde technique, utilisant les composées de fonctions usuelles :

En appliquant la formule du DL de sin x (voir haut), on obtient, à l’ordre 3 :

DL du sinus

Incorporons ce résultat au DL de ex (voir encore plus haut) :

développement

Les calculs se poursuivent par un travail de nettoyage qui aboutit à l’expression développée d’une fonction polynomiale de degré 9 dont je vous fais grâce. Mais si l’on ne retient que les termes de degré inférieur ou égal à 3, on retrouve bien le DL3(0) auquel nous sommes parvenu avec les dérivées successives.

Voir aussi la page calcul de limites avec DL de Mc Laurin.

 

développement limité

 

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