Dans la mesure où ce site est consacré aux techniques quantitatives utilisées en entreprise, je vous imagine, manager dubitatif, maugréant : « les sous-espaces vectoriels ? C’est pas ça qui va doper mes ventes ! » sauf que ces fameux sous-espaces constituent le cadre dans lequel s’inscrivent les résultats très opérationnels de tous les modèles linéaires, de l’ANOVA à l’ACP en passant par la régression multiple. Même la décomposition d’une série chronologique en tendance et mouvements saisonniers peut s’expliquer en termes de sous-espaces vectoriels. Voir « Séries temporelles et modèles dynamique » de C. Gourieroux et A.  Monfort, Economica 1995, p. 24 (puis p. 59, les moyennes mobiles symétriques considérées comme sous-espace vectoriel de l’espace des moyennes mobiles).

Principes

Une partie non nulle d’un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel si toutes les combinaisons linéaires qu’il est possible de réaliser sur un corps donné appartiennent à ce sous-espace.

Ce dernier inclut le vecteur nul puisqu’un vecteur du sous-espace multiplié par le scalaire « zéro » appartient, par définition, au sous-espace.

Illustrons : un sous-ensemble de l’espace vectoriel R³ défini par l’équation x + y + z + 1 = 0 constitue-t-il un sous-espace vectoriel ? Non, puisque le vecteur nul (0 , 0 , 0) n’en fait pas partie. Et si l’équation avait été x + y + z = 0 ? Oui. D’abord, on constate que le vecteur nul vérifie la condition. Ensuite, on vérifie que ce sous-ensemble est stable pour l’addition : soit un deuxième vecteur tel que x’ + y’ + z’ = 0, alors il va de soi que :

(x + x’) + (y + y’) + (z + z’) = 0

Par exemple, le vecteur (1 , 1 , -2) appartient au sous-espace et le vecteur (2 , 0 , -2) aussi. Leur somme (3 , 1 , -4) en fait également partie puisque 3 + 1 – 4 = 0. Et la loi de composition externe, alors ? Pas de problème ! Multiplions notre vecteur par n’importe quel nombre, l’addition fera toujours zéro.

La définition des sous-espaces vectoriels s’applique aussi bien aux suites convergentes, sous-espace des suites, qu’aux fonctions continues, sous-espace des fonctions. Et ce ne sont que deux exemples parmi beaucoup d’autres.

L’intersection de deux sous-espaces en constitue un troisième. Illustrons ceci par un exemple.

Nous nous situons dans l’espace vectoriel R³. Montrons qu’un sous-espace peut être défini par deux équations : x + 2y – z = 0 et 2x – 3y + 3z = 0. Pour  cela, on montre d’abord que la première équation constitue un sous-espace vectoriel. Le vecteur nul en fait partie car 0 + (2 × 0) – 0 = 0. Maintenant, faisons d’une pierre deux coups en vérifiant simultanément la stabilité pour l’addition et pour la multiplication en posant :

(x , y , z) + a(x’ , y’ , z’) = (x + ax’ , y + ay’ , z + az’)

On commence par la première équation :

(x + ax’) + 2(y + ay’) – (z + az’) = x + ax’ + 2y + a2y’ – z – az’ = (x + 2y – z) + a(x’ + 2y’ – z’)

Le premier terme est égal à zéro et le second aussi. Les conditions sont donc remplies. Même démonstration avec la seconde équation et là, on voit bien que nous sommes bien en présence de deux sous-espaces. Donc, les deux équations simultanées définissent bien un sous-espace, intersection de deux autres…

Alors que l’intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels en constitue forcément un autre, leur union en est rarement un. Là encore, il vaut mieux illustrer car l’exposé risque de devenir nébuleux…

Dans un plan, c’est-à-dire dans l’espace à deux dimensions R², l’axe des abscisses est un sous-espace vectoriel et l’axe des ordonnées en est un autre. (1 , 0) fait partie du premier et (0 , 1) appartient au second alors que le vecteur (1 , 1) ne se situe pas sur un axe.

Si l’union de deux sous-espaces n’en crée pas un troisième, il n’en est pas de même de leur somme ! En effet, ce qu’on appelle somme de deux espaces vectoriel est le sous-espace vectoriel composé des sommes des vecteurs qui appartiennent aux deux sous-espaces. Et là, le plan correspond bien à la définition (somme des sous-espaces (0 , 1) et (1 , 0), par exemple).

Quand on additionne deux sous-espaces qui n’ont en commun que leur vecteur nul, on parle de somme directe (c’est-à-dire que tout vecteur de cette somme s’écrit de manière unique). Il existe un signe spécial pour noter la somme directe. Il ressemble à une croix celte :

Si cette somme directe est égale à l’espace vectoriel, on dit que les sous-espaces sont supplémentaires.

Un sous-espace est affine s'il peut être présenté comme la somme d'un sous-espace et d'un vecteur de son espace vectoriel (c'est une simple translation d'un sous-espace).

Et le data mining dans tout ça ?

Vous réalisez une ACP sur individus. Ces derniers se situaient dans l’espace vectoriel des variables mais à présent, les voici sur un premier axe factoriel, qui est un sous-espace vectoriel. Puis sur un second axe orthogonal au premier (ils n’ont en commun que le vecteur nul). La somme directe de ces deux sous-espaces constitue le premier plan factoriel. Et ainsi de suite.