Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les combinaisons linéaires

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Combinaisons linéaires, colinéarité et systèmes générateurs

Je me souviens qu'au lycée, bon nombre de profs répétaient à l'envi que l'on n'additionne pas des choux et des carottes. Eh bien si, et ça s'appelle une combinaison linéaire. L'évaluation d'un chiffre d'affaires ou d'un stock de produits variés, le montant d'un portefeuille d'actifs sont des additions de diverses quantités d'entités différentes qui, mathématiquement, s'étudient dans le cadre des espaces vectoriels.

Cette page balaie des notions enseignées à différents niveaux (de la classe de première S jusqu'au supérieur). En première, on s'entraîne à décomposer un vecteur dans le plan en additionnant d'autres vecteurs, multipliés par des coefficients. C'est le principe de la combinaison linéaire.

combinaison linéaire

En effet, un espace vectoriel est muni de deux lois de composition, l’une interne (somme des vecteurs) et l’autre externe (multiplication par des scalaires, c'est-à-dire des réels ou des complexes).

Par exemple, dans R², espace à deux dimensions, la somme 2(1, 2) + 3(3, 1) est égale à (2, 4) + (9, 3), c’est-à-dire le vecteur (11, 7). Illustration :

combinaison linéaire

Si l’on additionne plusieurs vecteurs, on obtient la relation de Chasles qui est tout simplement un raccourci pour aller d’un point à un autre :

Chasles

NB: ce type d'écriture, avec des flèches, n'est utilisé qu'en géométrie. La géométrie est le moyen le plus pratique pour initier les élèves de seconde aux vecteurs mais ce n'est qu'une utilisation parmi d'autres...

Plus concrètement, on peut supposer que cinq consommateurs ont positionné un produit sur une échelle non comparative. Deux d’entre eux ont donné la note 1 au prix (en abscisse) et 2 au packaging (en ordonnée), trois d’entre eux ont attribué la note 3 au prix et 1 au packaging. Le vecteur représentatif de l’échantillon, en vert, indique la note globale. C'est le principe du modèle de Fischbein, bien connu en marketing.

Ce que nous visualisons ici peut être étendu au calcul matriciel qui permet d’appréhender autant de dimensions que souhaité.

Par ailleurs, il est évident que si l’on ajoutait sur notre graphe un autre vecteur vert, combinaison linéaire d’autres rouges et d’autres bleus, et un vecteur noir, combinaison linéaire des deux verts, cela impliquerait que le noir est une combinaison de tous les rouges et de tous les bleus. En revanche, si l'on « multiplie » un vecteur par un autre, le résultat ne se situe plus dans le même espace puisqu'il s'agit d'un simple nombre (voir initiation au produit scalaire).

La détection d'une combinaison linéaire entre plusieurs vecteurs permet de découvrir qu'un système est lié.

Exemple

Démontrer que Vect((1, 0, 4) ; (2, 1, 5) ; (7, 2, 22)) = Vect((1, 0, 4) ; (2, 1, 5)).

Pour cela, on montrera que (7, 2, 22) est une combinaison des deux autres.

(7, 2, 22) = a(1, 0, 4) + b(2, 1, 5). On pose le système. Il vient + 2= 7, = 2 (donc = 3). Comme le troisième terme vérifie 22 = (4 × 3) + (5 × 2), on a bien une combinaison linéaire. En l’occurrence, (7, 2, 22) = 3(1, 0, 4) + 2(2, 1, 5).

En pratique, il est courant de chercher l'ensemble des combinaisons linaires qui maximisent un résultat sous contrainte. Voir par exemple la théorie du portefeuille où l'espérance de rentabilité globale est une combinaison linéaire des espérances de rentabilité de chaque investissement qui compose le portefeuille.

Colinéarité

Les vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = kv. Ainsi, les vecteurs (1, 2, -1, 3) et (2, 4, -2, 6) le sont dans R4. Seule la loi de composition externe est requise. On vérifie donc une proportionnalité.

La colinéarité dans le plan est une notion enseignée en classe de seconde (voir page colinéarité dans le plan). Deux segments de droites [AB] et [CD] sont parallèles (ou confondus, ou alignés) si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. D'une façon plus générale, on démontre que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Sur l'espace des réels R, tous les vecteurs (c'est-à-dire les nombres réels) sont colinéaires.

S'il existe une combinaison linaire entre plusieurs vecteurs, on est ramené à un problème de colinéarité. En pratique, la colinéarité est l'ennemie. Par exemple, une régression multiple exige l'élimination de toute variable explicative qui serait une combinaison linéaire d'autres variables. On s'assure donc du rang de la matrice des SCALAIRES que sont les coefficients des variables.

Systèmes générateurs

Un ensemble S de n vecteurs engendre un espace vectoriel si tous les vecteurs de ce dernier peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des n vecteurs. S est dit système « générateur » ou famille génératrice.

La recherche d’un système générateur consiste donc à déterminer les vecteurs grâce auxquels tous les vecteurs de l’espace, ou d’un sous-espace, peuvent être construits. Mais attention, une famille génératrice peut très bien inclure des vecteurs superflus (système lié).

Le sous-espace vectoriel engendré par le système S = {u1, u2, …, un} est le plus petit sous-espace vectoriel de l’espace E contenant {u1, u2, …, un}.

J'ai déjà utilisé la notation Vect(u1, u2, …, un). Elle est employée pour désigner l'espace engendré par la combinaison linéaire des n-uplets u1 à un. Prenons maintenant un exemple moins parlant que les coordonnées de vecteurs dans le plan. Soient deux fonctions numériques f(x) = x² et g(x) = ex. Vect(f, g) est l'ensemble infini de combinaisons linéaires à coefficients réels engendré par ces deux fonctions, comme par exemple 2x² + 3ex, ou encore -ex... Voir également la page équations différentielles linéaires.

 

combinaison linéaire

 

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