Je me souviens qu'au lycée, bon nombre de profs répétaient à l'envi qu'on n'additionne pas des choux et des carottes. Eh bien si, et ça s'appelle une combinaison linéaire. L'évaluation d'un chiffre d'affaires ou d'un stock de produits variés, le montant d'un portefeuille d'actifs sont des additions de diverses quantités d'entités différentes qui, mathématiquement, s'étudient dans le cadre des espaces vectoriels.

Un espace vectoriel est muni de deux lois de composition, l’une interne (somme des vecteurs) et l’autre externe (multiplication par des scalaires, c'est-à-dire des réels ou des complexes). Le mix des deux permet d’obtenir des combinaisons linéaires.

Par exemple, dans un espace à deux dimensions, la somme 2(1 , 2) + 3(3 , 1) est égale à (2 , 4) + (9 , 3), c’est-à-dire le vecteur (11 , 7). Illustration :

Plus concrètement, on peut supposer que cinq consommateurs ont positionné un produit sur une échelle non comparative. Deux d’entre eux ont donné la note 1 au prix (en abscisse) et 2 au design (en ordonnée), trois d’entre eux ont attribué 3 au prix et 1 au design. Le vecteur représentatif de l’échantillon, en vert, indique la note globale. C'est le principe du modèle de Fischbein, bien connu en marketing.

Ce qu’on visualise ici peut être étendu au calcul matriciel qui permet d’appréhender autant de dimensions qu’on le souhaite. Bien sûr, l’exemple ci-dessus est particulièrement enfantin et il est inutile d’utiliser des matrices pour faire de simples sommes.

Par ailleurs, on notera que si l’on ajoutait sur notre graphe un autre vecteur vert, combinaison linéaire d’autres rouges et d’autres bleus, et un vecteur noir, combinaison linéaire des deux verts, cela impliquerait que le noir est combinaison linéaire de tous les rouges et de tous les bleus.

La détection d'une combinaison linéaire permet de découvrir qu'un système est lié.

Exemple

Démontrer que Vect((1 , 0 , 4) ; (2 , 1 , 5) ; (7 , 2 , 22)) = Vect((1 , 0 , 4) ; (2 , 1 , 5)).

Pour cela, on doit démontrer que (7 , 2 , 22) est combinaison des deux autres.

(7 , 2 , 22) = a(1 , 0 , 4) + b(2 , 1 , 5). On pose le système. Il vient a + 2b = 7, b = 2 (donc a = 3). Comme le troisième terme vérifie 22 = (4 × 3) + (5 × 2), on a bien une combinaison linéaire. En l’occurrence, (7 , 2 , 22) = 3(1 , 0 , 4) + 2(2 , 1 , 5).

En pratique, il est courant de chercher l'ensemble des combinaisons linaires qui maximisent un résultat sous contrainte. Voir par exemple la théorie du portefeuille où l'espérance de rentabilité globale est une combinaison linéaire des espérances de rentabilité de chaque investissement qui compose le portefeuille.

Colinéarité

Les vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = kv. Ainsi, les vecteurs (1 , 2 , -1 , 3) et (2 , 4 , -2 , 6) sont colinéaires dans R⁴. Seule la loi de composition externe est requise. On vérifie donc une proportionnalité des nombres entre les deux vecteurs.

La colinéarité dans le plan est une notion enseignée en classe de seconde. Ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles car les vecteurs AB et CD sont colinéaires (et s'ils avaient un point commun, les droites seraient confondues). Comme on dispose des coordonnées de ces vecteurs, il est facile de savoir s'ils sont colinéaires en appliquant la formule xy' – x'y = 0. Ici, on remarque tout de suite qu'ils sont proportionnels mais on le vérifie aussi en posant (0,5 × -1) – (-0,5 × 1) = 0.

Sur l'espace des réels R, tous les vecteurs (c'est-à-dire les nombres) sont colinéaires.

Systèmes générateurs

Un système S de n vecteurs engendre un espace vectoriel si tous les vecteurs de ce dernier peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des n vecteurs. S est dit « générateur ».

La recherche d’un système générateur consiste donc à déterminer les vecteurs grâce auxquels tous les vecteurs de l’espace, ou d’un sous-espace, peuvent être construits. Mais attention, un système générateur peut très bien inclure des vecteurs superflus, colinéaires avec d'autres (système lié).

Le sous-espace vectoriel engendré par le système S = {u₁, u₂…, u_n} est le plus petit sous-espace vectoriel de l’espace E contenant {u₁, u₂…, u_n}.

J'ai déjà utilisé la notation Vect(u₁, u₂..., u_n). Elle est employée pour désigner l'espace engendré par la combinaison linéaire des n-uplets u₁ à u_n. Prenons maintenant un exemple moins intuitif que les coordonnées de vecteurs dans l'espace. Soient deux fonctions numériques f(x) = x² et g(x) = e^x. Vect(f, g) est l'ensemble infini de combinaisons linéaires à coefficients réels engendré par ces deux fonctions. Par exemple 2x² + 3e^x, ou encore -e^x... Voir également la page équations différentielles linéaires.