Les combinaisons linéaires

Combinaisons linéaires et systèmes générateurs

Selon une vieille expression, on n'additionne pas des choux et des carottes. Eh bien si, et pas seulement dans le pot-au-feu. Mathématiquement, ça s'appelle une combinaison linéaire. L'évaluation d'un chiffre d'affaires ou d'un stock de produits variés, le montant d'un portefeuille d'actifs sont des additions de diverses quantités d'entités différentes qui, mathématiquement, s'étudient dans le cadre des espaces vectoriels.

 

Présentation

En première S, on s'entraîne à décomposer un vecteur dans le plan en additionnant d'autres vecteurs, multipliés par des coefficients. C'est le principe de la combinaison linéaire. \(\overrightarrow w = k\overrightarrow u + m\overrightarrow v \) (d'ailleurs, même en seconde, on découvre ce principe en faisant l'opération inverse).

L'espace vectoriel \({\mathbb{R}^n}\) est muni de deux lois de composition, l’une interne (somme des vecteurs) et l’autre externe (multiplication par des scalaires qui sont des rationnels, des réels ou des complexes).

Par exemple, dans \({\mathbb{R}^2}\), espace à deux dimensions :

\(2\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right) + 3\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right)\) \(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ 3 \end{array}} \right)\) \(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}\\ 7 \end{array}} \right)\).

Illustration :

combinaison linéaire

Plus concrètement, on peut supposer que cinq consommateurs ont positionné un produit sur une échelle non comparative. Deux d’entre eux ont donné la note 1 au prix (en abscisse) et 2 au packaging (en ordonnée), trois d’entre eux ont attribué la note 3 au prix et 1 au packaging. Le vecteur représentatif de l’échantillon, en vert, indique la note globale. C'est le principe du modèle de Fischbein, bien connu en marketing.

Par ailleurs, il est évident que si l’on ajoutait sur notre graphe un autre vecteur vert, combinaison linéaire d’autres rouges et d’autres bleus, et un vecteur noir, combinaison linéaire des deux verts, cela impliquerait que le noir est une combinaison de tous les rouges et de tous les bleus.

Ainsi un vecteur \(u\) est combinaison linéaire des vecteurs \({u_1},\) \({u_2},\) ..., \({u_n}\) d'un espace vectoriel \(E\) s'il existe \(n\) réels \({\lambda_1},\) \({\lambda_2},\) ..., \({\lambda_n}\) tels que :

\[u = \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}{u_i}} \]

Ce que nous visualisons ici peut être étendu au calcul matriciel qui permet d’appréhender autant de dimensions que souhaité.

En revanche, si l'on « multiplie » un vecteur par un autre, le résultat ne se situe plus dans le même espace puisqu'il s'agit d'un simple nombre (voir initiation au produit scalaire).

 

Colinéarité

Rappel : les vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \). Ainsi, les vecteurs de coordonnées (1, 2, -1, 3) et (2, 4, -2, 6) le sont dans \({\mathbb{R}^4}\). Seule la loi de composition externe est requise. On vérifie donc une proportionnalité.

La colinéarité dans le plan est une notion enseignée en classe de seconde (voir la page colinéarité dans le plan). Deux segments de droites \([AB]\) et \([CD]\) sont parallèles (ou confondus, ou alignés) si les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {CD} \) sont colinéaires. D'une façon plus générale, on démontre que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Dans l'espace des réels \(\mathbb{R}\), tous les vecteurs (c'est-à-dire les nombres réels) sont colinéaires.

S'il existe une combinaison linaire entre plusieurs vecteurs, on est ramené à une étude de colinéarité.

Dans la pratique, la colinéarité est souvent l'ennemie. Par exemple, une régression multiple exige l'élimination de toute variable explicative qui serait une combinaison linéaire d'autres variables. On s'assure donc du rang de la matrice des scalaires que sont les coefficients des variables.

 

Systèmes générateurs

Un ensemble \(S\) de \(n\) vecteurs engendre un espace vectoriel si tous les vecteurs de ce dernier peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des \(n\) vecteurs. \(S\) est dit système générateur ou famille génératrice.

La recherche d’un système générateur consiste donc à déterminer les vecteurs grâce auxquels tous les vecteurs de l’espace, ou d’un sous-espace, peuvent être construits. Mais attention, une famille génératrice peut très bien inclure des vecteurs superflus (système lié).

Le sous-espace vectoriel engendré par le système \(S = \left\{ {{u_1},{u_2},...,{u_n}} \right\}\) est le plus petit sous-espace vectoriel de l’espace \(E\) contenant \(\left\{ {{u_1},{u_2},...,{u_n}} \right\}\).

La notation \({\rm{Vect}}\left( {{u_1},{u_2},...,{u_n}} \right)\) est parfois employée pour désigner l'espace engendré par la combinaison linéaire des n-uplets \({{u_1}}\) à \({{u_n}}\). En d'autres termes, c'est l'ensemble des combinaisons linéaires d'une même famille.

Prenons maintenant un exemple plus complexe que de simples coordonnées dans \({\mathbb{R}^2}\) mais peut-être plus clair pour illustrer le propos. Soit deux fonctions numériques \(f(x) = {x^2}\) et \(g(x) = {e^x}\). \({\rm{Vect}}\left( {f,g} \right)\) est l'ensemble infini de combinaisons linéaires à coefficients réels engendré par ces deux fonctions, comme par exemple \(2{x^2} + 3{e^x}\), ou encore \( - {e^x}\)... Voir également la page équations différentielles linéaires.

 

Exercice

Démontrons que dans \({\mathbb{R}^3}\) :

\({\rm{Vect}}\left( {(1,0,4);(2,1,5);(7,2,22)} \right)\) \({\rm{ = Vect}}\left( {(1,0,4);(2,1,5)} \right)\)

Pour cela, on montrera que le vecteur de coordonnées (7, 2, 22) est une combinaison des deux autres.

\((7,2,22) = a(1,0,4) + b(2,1,5)\).

Posons le système.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + 2b = 7}\\
{b = 2}\\
{4a + 5b = 22}
\end{array}} \right.\)

Il est immédiat que \(b=2\) et donc \(a=3\). Comme la troisième équation vérifie ces solutions trouvées grâce aux deux premières, nous sommes bien en présence d'une combinaison linéaire. En l’occurrence, (7, 2, 22) = 3(1, 0, 4) + 2(2, 1, 5). Les espaces engendrés sont bien les mêmes.

En pratique, il est courant de chercher l'ensemble des combinaisons linaires qui maximisent un résultat sous contrainte. Voir par exemple la théorie du portefeuille où l'espérance de rentabilité globale est une combinaison linéaire des espérances de rentabilité de chaque investissement qui compose le portefeuille.

 

combinaison linéaire