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(et fondements mathématiques)

La base et la dimension d'un espace vectoriel

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Base, base canonique et dimension

Chacun sait ce qu’est une dimension. Ainsi, un dessin ou un film en 3D montre l’illusion de la profondeur. Les dataminers voient les choses en plus grand : ils travaillent sans sourciller avec des centaines de dimensions. Leur secret ? L’algèbre linéaire, dont les propriétés fondent la plupart des techniques d’analyse des données.

Pour étudier la notion mathématique de dimension, il peut être utile d’évoquer celle de base d’un espace vectoriel. Grâce à la base, nous pourrons effectuer des CALCULS dans un espace vectoriel (chic !).

Base d’un espace vectoriel

Élargissons la notion de base telle qu'elle est enseignée en classe de première S, c'est-à-dire dans le plan (voir la page décomposition d'un vecteur dans le plan).

Une famille de n vecteurs est une base de l’espace vectoriel E si elle est libre et si elle engendre E. Il s'ensuit que tout vecteur de E s’écrit d’une seule façon, celle d'une combinaison linéaire de scalaires qui multiplient les vecteurs de la base.

Un exemple très simple est donné par les vecteurs i (1 , 0) et j (0 , 1) qui constituent une base de R². Ils sont suffisants pour définir n’importe quel vecteur du plan R². Cette base est dite canonique et elle est la plus pratique de toutes pour engendrer R². Les k vecteurs engendrant une base canonique sont composés de 0 (au nombre de k – 1) et d'un seul 1, évidemment jamais à la même place. Les scalaires utilisés dans la combinaison linéaire d'un vecteur quelconque sont donc tout simplement les coordonnées du vecteur ou du point. On les écrit en ligne ou en colonne. Exemple:

vecteur colonne

Cependant, la base canonique n'est pas la seule base possible, loin de là (on peut en créer une infinité). Un autre exemple simple de choix d'une base est celui d'un indice base 100 qui modifie une famille de vecteurs sur R ou autre ensemble numérique (c'est-à-dire une suite de nombres) grâce à une multiplication par un scalaire (qui se traduit par une banale règle de trois). En pratique, il est fréquent d'opérer un changement de base grâce au calcul matriciel, lorsqu'une application linéaire se révèle beaucoup plus simple à travailler que dans la base canonique.

Dimension

Les différentes bases d’un espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de cet espace.

D’une façon générale, la dimension de Rⁿ est n. Si = 1, l'espace vectoriel est une droite numérique, si n = 2, c'est un plan normé, si n = 3 c'est un espace et si > 3, c'est un hyperespace ou espace à n dimensions.

Supposons que nous nous situons dans R5. Soit le vecteur u :

vecteur u

Dans la base canonique, on lui associe la matrice colonne suivante :

matrice colonne

Si un certain nombre de vecteurs d’une base de E engendrent un sous-espace vectoriel, les vecteurs restants engendrent un sous-espace supplémentaire.

Le théorème de la base incomplète

Soit n la dimension d’un espace vectoriel E et une famille libre de p vecteurs de E (p étant plus petit que n). On peut ajouter n – p vecteurs de façon à obtenir une base de E. C'est d'ailleurs suffisamment intuitif pour être deviné.

Par exemple, dans R³, on a deux vecteurs u = (0 ; 2 ; 3) et v = (1 ; -1 ; 2). C'est bien sûr insuffisant pour définir une base. Il manque pour celà un troisième vecteur, non colinéaire à u et v.

Le rang

Le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants est appelé le RANG.

Le rang d’un système reste le même lorsqu’on remplace un vecteur par une combinaison linéaire de ce dernier avec un autre vecteur du système. En utilisant cette propriété, on peut déterminer un rang à la main, par exemple en utilisant le pivot de Gauss (pas trop élevé quand même !). Voir la page rang d'une matrice.

La dimension du sous-ensemble des images d'une base est, par définition, égale au rang de l'application. Par ailleurs, le rang d'une composée de plusieurs applications linéaires est inférieur ou égal au plus petit de leurs rangs (voir page rang et noyau).

 

soldats vectoriels (!)

 

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