Chacun sait ce qu’est une dimension. Ainsi, un dessin en 3D montre l’illusion de la profondeur. Les dataminers voient les choses en plus grand : ils travaillent sans sourciller avec des centaines de dimensions. Leur secret ? L’algèbre linéaire, dont les propriétés fondent la plupart des techniques d’analyse des données.

Pour étudier la notion mathématique de dimension, il peut être utile d’évoquer celle de base d’un espace vectoriel.

Base et dimension d’un espace vectoriel

Un système de n vecteurs est une base de l’espace vectoriel E s’il est libre et s’il engendre E.

Un exemple très simple est celui des vecteurs i (1 , 0) et j (0 , 1) qui sont une base de R². Ils sont suffisants pour définir n’importe quel vecteur du plan et tout vecteur de R² se définit grâce à eux. Cette base est dite « canonique » car c’est la plus simple qui puisse engendrer R². Les k vecteurs engendrant une base canonique sont chacun composés de 0, sauf la k^ième qui est égale à 1.

Les différentes bases d’un espace vectoriel ont le même nombre de vecteurs. Ce nombre est appelé dimension de cet espace.

D’une façon générale, la dimension de Rⁿ est n. Si n = 1, l'espace vectoriel est une droite, si n = 2, c'est un plan et si n > 2, c'est un hyperplan.

Un système est une base de E si tout vecteur de E s’écrit d’une seule façon. Cette combinaison unique de scalaires qui définit un vecteur dans une base est appelée « composantes » ou « coordonnées ».

Habituellement, on se sert d’une base canonique et on représente les coordonnées sous forme de vecteur colonne. Exemple :

Par ailleurs, si un certain nombre de vecteurs d’une base de E engendrent un sous-espace vectoriel, les vecteurs restants engendrent un sous-espace supplémentaire.

Le théorème de la base incomplète

Soit n la dimension d’un espace vectoriel E et un système libre de p vecteurs de E (p étant plus petit que n). On peut ajouter n – p vecteurs de façon à obtenir une base de E. C'est d'ailleurs suffisamment intuitif pour être deviné.

Le rang

Le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants est appelé le rang.

Le rang d’un système reste le même lorsqu’on remplace un vecteur par une combinaison linéaire de ce dernier avec un autre vecteur du système. En utilisant cette propriété, on peut déterminer un rang à la main, par exemple en utilisant le pivot de Gauss (pas trop élevé quand même !).

Cette notion de rang s'applique aussi aux applications linéaires. La dimension du sous-ensemble des images d'une base est, par définition, égale au rang de l'application. Par ailleurs, le rang d'une composée de plusieurs applications linéaires est forcément inférieur ou égal au plus petit de leurs rangs.