Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les espaces vectoriels

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Généralités sur les espaces vectoriels

Pour la plupart d’entre nous, les vecteurs renvoient avec nostalgie à une époque où nous nous interrogions sur l’utilité concrète de l’enseignement qui nous était dispensé. Les vecteurs sont pourtant l'un des objets mathématiques les plus utiles, y compris pour comprendre la mécanique de certaines techniques d'analyse de données aux applications très concrètes...

Il est habituel de commencer une présentation des vecteurs en utilisant la géométrie euclidienne. On se limite d'abord à deux dimensions (R²), un vecteur étant alors défini par un couple de valeurs (qui correspondent à une abscisse et à une ordonnée en géométrie analytique). C'est le programme de seconde qui enseigne que, au lieu de zigzaguer dans un parallélogramme, on ferait mieux d'utiliser la relation de Chasles pour se rendre directement d'un point à un autre (voir la page d'initiation aux vecteurs et l'exemple de la page vecteurs et coordonnées).

Puis la présentation s'élargit à trois dimensions, chaque vecteur étant défini par un triplet. Jusque là, l'illustration graphique facilite la compréhension du concept. Ensuite, l'enseignement évolue vers l'algèbre linéaire, plus abstrait mais qui s'affranchit du nombre très limité de dimensions utilisables en géométrie. Les vecteurs sont alors définis par des n-uplets et ne sont plus visualisables graphiquement.

Précisons toutefois pour mémoire que la notion d'espace vectoriel est encore bien plus large que Rn puisque tout ensemble muni des deux lois de composition en est un (ensemble de suites, de fonctions...). Nous n'approfondirons pas ces développements ici. Voir par exemple la page d'exercices sur l'espace vectoriel des fonctions.

Géométrie

« Espaces vectoriels » est une expression qui renvoie à la géométrie. Il s’agit d’ensembles munis de deux lois de composition, l’une interne et l’autre externe. Ce jargon exprime quelque chose de très simple. La loi interne, c’est l'addition des vecteurs entre eux. La loi externe, c’est qu’un élément étranger à l’espace vectoriel, en l’occurrence un nombre, peut multiplier un vecteur. Ainsi, deux vecteurs non colinéaires suffisent pour définir un espace à deux dimensions, c'est-à-dire que tous les vecteurs de cet espace peuvent s'exprimer en fonction de ces deux-là.

Un espace vectoriel se note (E, +, .). E est l'ensemble des vecteurs, + et . sont les lois de composition (respectivement interne et externe).

Graphiquement, un vecteur se caractérise par sa direction, son sens et sa norme (c’est-à-dire sa longueur ou module). La direction implique qu'une droite est le support d'un vecteur qui peut, réciproquement, la définir (voir page vecteur directeur). Dans un plan muni d'un repère, un vecteur se définit aussi par son origine, à laquelle il est lié.

Si deux vecteurs ont la même origine et la même extrémité, ils sont évidemment égaux. En géométrie pure où les vecteurs sont libres, on parle d'équipollence.

Loi de composition interne : elle vérifie l'associativité entre les vecteurs, la commutativité, l'élément neutre (vecteur nul) et l'élément inverse (vecteur opposé). Un espace vectoriel a donc une structure de groupe abélien.

Loi de composition externe (homothétie) : si l'on multiplie par 2 le vecteur bleu clair (2 ; 3), on obtient le bleu foncé (4 ; 6), colinéaire au bleu clair (il serait également colinéaire s’il était décalé parallèlement). Ce nombre 2 n'est pas un vecteur mais un scalaire. Étymologiquement, un scalaire signifie une échelle. C'est une grandeur divisible en un nombre quelconque de parties égales qui permettent de mesurer. Un scalaire qui multiplie un vecteur est simplement un nombre, un facteur d’échelle appliqué à une direction.

loi de composition externe

La combinaison linéaire est la combinaison de ces deux lois de composition.

Au-delà de cette notion de linéarité, il est possible de « multiplier » des vecteurs entre eux. On parle alors de produit scalaire.

On augmente la puissance

Voyons maintenant l’exemple d’une réalité qu’on cherche à appréhender. Les positions ne sont pas des pointes de flèches mais des clients. Les dimensions ne sont plus au nombre de deux mais de quinze (âge, revenu, nombre de personnes au foyer, ancienneté à l'adresse, nombre de départs en vacances dans l’année et notes données à 10 questions). Or, on ne visualise pas un graphique en quinze dimensions. En revanche, on va utiliser les propriétés que nous venons de voir dans un deuxième « monde parallèle » qui permet de raisonner en autant de dimensions qu’on souhaite : celui des espaces vectoriels et de l’algèbre linéaire.

Les deux coordonnées d'un vecteur de R² s'appellent un couple. Sur R³, on emploie le terme de triplet et sur Rⁿ, de n-uplet. On parle alors d'éléments ou de composantes du n-uplet plutôt que de coordonnées.

Statistiques et analyse des données

Alors que la branche des mathématiques la plus utilisée pour les statistiques est la théorie des probabilités, celle sur qui reposent plusieurs techniques d'analyse de données est l’algèbre linéaire. Les systèmes économétriques d’équations à plusieurs inconnues, tout comme les tableaux de millions d’observations bénéficient ainsi des incroyables prouesses du calcul matriciel.

Une notion première de ces statistiques est celle de vecteur aléatoire, dont les composantes sont des variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité.

Un but des statistiques prédictives et du data mining consiste à établir des règles qui, appliquées à une réalité complexe, permettent d'en obtenir une représentation relativement simple. Mathématiquement, on cherche à passer d'un espace vectoriel dont le nombre de dimensions est élevé à un autre beaucoup plus petit. Les opérations sur les matrices permettent cet exploit, du moins si l'on recourt aux techniques linéaires qui sont les plus courantes et qui ont pour nom régression multiple ou analyses factorielles. Ces dernières permettent d'ailleurs deux types de recherche selon que l'espace vectoriel de départ est celui des variables ou celui des observations.

 

vecteur ?

 

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