Pour la plupart d’entre nous, les espaces vectoriels nous renvoient avec nostalgie à une époque où nous nous interrogions sur l’utilité concrète de l’enseignement qui nous était dispensé.

Aujourd’hui, certains savent. Ceux-ci n’ont aucune raison de perdre leur temps sur cette page. Mais plutôt que quitter un site aussi riche que celui-ci sans autre forme de procès, je les invite à épancher leur soif de culture générale, par exemple sur l'analyse technique, les marchés-tests ou les pyramides des âges… En revanche, si vous êtes de ceux qui souhaitent connaître l’utilité des espaces vectoriels en statistiques, cette page constitue un point de départ.

Lorsqu’on observe des phénomènes très complexes, nous avons l’habitude (voire le réflexe) de chercher de l'aide dans un monde parallèle, où l’on peut se permettre d’avoir des certitudes, où les problèmes peuvent être traités sans que personne ne conteste les résultats et cet eldorado se nomme « mathématiques ».

Les statistiques et le data mining constituent une « zone tampon », construite sur des bases mathématiques et capable de donner aux observations un éclairage incomparable, une vue satellitaire des phénomènes imperceptible au niveau du plancher des vaches.

Alors que la branche des mathématiques la plus utilisée pour les statistiques est la théorie des probabilités, celle sur qui reposent plusieurs techniques multivariées est l’algèbre linéaire. Les systèmes économétriques d’équations à plusieurs inconnues, tout comme les tableaux de millions d’observations bénéficient ainsi de l’incroyable richesse du calcul matriciel.

J’ai utilisé plus haut l’image d’un « monde parallèle ». Or, pour introduire l’algèbre linéaire, il est plus parlant d’évoquer DEUX mondes parallèles. Le premier est celui de la géométrie euclidienne et le second est celui, plus abstrait, de l’algèbre.

Géométrie

« Espace vectoriel » est une expression qui renvoie à la géométrie. Il s’agit d’ensembles munis de deux lois de composition, l’une interne et l’autre externe. Ce jargon exprime quelque chose de très simple. La loi interne, c’est que les vecteurs s’ajoutent entre eux. La loi externe, c’est qu’un élément étranger à l’espace vectoriel, en l’occurrence un nombre réel, peut multiplier un vecteur.

Un vecteur se caractérise par sa direction, son sens et sa norme (c’est-à-dire sa longueur).

Voyons ceci sur des espaces très simples (des repères orthogonaux à deux dimensions).

Loi de composition interne : le vecteur bleu, de coordonnées (1 ; 3), s’ajoute au vecteur rose (4 ; 2) pour créer le violet (5 ; 5).

Ce graphique montre quelques propriétés bienvenues. Ainsi, une somme de vecteurs est commutative (qu’on transpose le rose au bout du bleu ou le bleu au bout du rose, on arrive toujours au bout du violet). Par ailleurs, il existe un élément neutre (le vecteur nul), et tout vecteur possède un symétrique (on change la flèche de sens). Enfin, la somme vectorielle est transitive, ce qu’on devinerait facilement si j’avais tracé un vecteur de plus.

Si l’on additionne plusieurs vecteurs, on obtient la relation de Chasles qui est tout simplement un raccourci pour aller d’un point à un autre :

NB: ce type d'écriture, avec des flèches, n'est utilisé qu'en géométrie.

Loi de composition externe (homothétie) : si l'on multiplie par 2 le vecteur bleu clair (2 ; 3), on obtient le bleu foncé (4 ; 6), colinéaire au bleu clair (il serait également colinéaire s’il était décalé parallèlement).

La combinaison linéaire est la combinaison de ces deux lois de composition.

On augmente la puissance

Voyons maintenant l’exemple d’une réalité qu’on cherche à appréhender. Les positions ne sont pas des pointes de flèches mais des clients. Les dimensions ne sont plus au nombre de deux mais de quinze (âge, revenu, nombre de personnes au foyer, ancienneté à l'adresse, nombre de départs en vacances dans l’année et notes données à 10 questions). Or, on ne visualise pas un graphique en quinze dimensions. En revanche, on va utiliser les propriétés que nous venons de voir dans un deuxième « monde parallèle » qui permet de raisonner en autant de dimensions qu’on souhaite : celui des espaces vectoriels et de l’algèbre linéaire.

Les deux coordonnées d'un vecteur de R² s'appellent un couple. Sur R³, on parle de triplet et sur Rⁿ, de n-uplet. Et on parle alors d'éléments ou de composantes plutôt que de coordonnées.

Corps et scalaire

Enfin, un petit rappel sur la notion mathématique de CORPS. Notre objet n’est pas de le disséquer mais juste de rappeler qu’il s’agit d’une structure algébrique dans laquelle on additionne, on multiplie, on soustrait et on divise. Ce peut être l’ensemble des rationnels, des réels, des complexes, mais pas des vecteurs. L’élément d’un corps est appelé SCALAIRE, ce qui, étymologiquement, signifie une échelle. Un nombre qui multiplie un vecteur est un scalaire, c’est-à-dire un facteur d’échelle appliqué à une direction.

Ainsi, non seulement les vecteurs du plan et les matrices de format (n , p) correspondent à la définition d'un espace vectoriel sur un corps mais aussi les fonctions, les suites numériques...

Dans une analyse factorielle, on manipule deux espaces vectoriels : celui des variables et celui des individus (ou observations).

Pour en savoir beaucoup, beaucoup plus :

http://www.les-mathematiques.net/b/e/e/node1.php3