Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les suites bornées

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Suites majorées, minorées et bornées

Alors que certaines suites, libres comme l’air, vont batifoler dans les territoires infinis, d’autres se restreignent à un cadre rigide. Elles sont bornées. Intéressons-nous à elles, ça les consolera.

Définitions

Soit deux réels m et M tels que ≥ m. Soit n un entier naturel, éventuellement infini.

Une suite (un) est majorée par M si, pour tout n, un ≤ M.

Si par exemple 2 est la plus grande valeur prise par une suite, 2 est un majorant. Mais 3 aussi en est un. Toute suite majorée admet une infinité de majorants.

(un) est minorée par m si, pour tout n, un ≥ m. Toute suite minorée admet une infinité de minorants.

(un) est bornée si pour tout n, m ≤ un ≤ M.

Une suite bornée est donc minorée et majorée.

Démonstration

On démontre qu’une suite est bornée grâce à la récurrence, aux opérations sur les limites, ou tout simplement en utilisant ses connaissances des fonctions usuelles.

Par exemple, considérons la suite (un) définie par un = sin n. On sait qu’un sinus est compris entre -1 et 1. Nous en déduisons que un est bornée par -1 et 1.

Limites

Une suite peut avoir ou non une limite. Si celle-ci existe, elle est soit finie soit infinie.

Lorsqu'en terminale S on en découvre les définitions, elles peuvent sembler un peu bizarres. Pourtant, elles doivent paraître naturelles pour qui se destine à approfondir certaines branches des maths dans le supérieur.

La suite (un) admet pour limite le réel m si, à partir d'un certain rang, toutes les valeurs un appartiennent à un intervalle ouvert contenant m.

Elle admet pour limite +∞ si tout intervalle ]m ; +∞[ contient toutes les valeurs un à partir d'un certain rang.

Exercice 1

Soit la suite (un) définie sur N par u0 = 1 et un+1 = 0,5un – 1. Montrez qu’elle est minorée par -2 et majorée par 1.

Exercice 2

Démontrer que la suite (vn) définie sur N* est bornée.

Vn

Corrigé 1

Comme nous sommes en présence d’une suite de type un+1 = f(un), la démonstration par récurrence s’impose.

Proposition. P(n) : -2 ≤ u≤ 1.

Initialisation. u0 = 1, donc -2 ≤  u0 ≤  1. P(0) est vraie.

Hérédité. Supposons que l'encadrement de P(n) est vrai pour un entier n.

Alors, -2  un ≤ 1

Donc, -1  0,5un  0,5

Il s’ensuit que -2  0,5un – 1 ≤ -0,5

Selon l’énoncé, 0,5un – 1 n’est autre que un+1, donc -2  un+1  -0,5

Donc P(n) est vraie pour tout entier n.

Une rapide vérification sur Excel permet de confirmer qu’à partir de u1, -0,5 est un majorant :

suite bornée

Corrigé 2

Nous devons cette fois-ci étudier une suite de type vn = f(n). Il faut transformer son expression car en l’état, il n’est pas possible de borner (vn).

L’idée est de multiplier l’expression par sa quantité conjuguée, ce qui aura pour double effet d’introduire un dénominateur et de supprimer toute variable au numérateur.

quantité conjuguée

réduction

On constate aisément que -1  vn < 0.

valeurs

 

suite bornée

 

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