Analyse en Composantes Principales sur observations
A première vue, une base de données est aussi triste qu’une mine. Or, c’est bien dans les mines que l’on trouve les gemmes et toute entreprise qui conserve des données sur support numérique possède sans toujours le savoir son propre filon diamantifère. Avec cet atout inouï que l'entreprise fabrique ses propres diamants (enfin, ses informations). L’alchimiste est le data scientist qui transforme des gigaoctets en aide à la décision grâce à des recettes. En voici une.
Problématique
L’analyse en composantes principales (ACP) sur unités statistiques, ou sur individus, est l’une de ses recettes. On l’utilise pour mener des investigations au sein d'une population décrite par des variables quantitatives, parfois en grande quantité. En entreprise, cette technique répond essentiellement à des problématiques de marketing. L'objectif est de déceler des ressemblances et de déterminer quels critères pourraient expliquer les différences.
Si un échantillon de \(n\) individus statistiques est décrite par deux variables numériques, par exemple un revenu et un montant d’épargne, il est facile de la représenter par un nuage de \(n\) points-individus dans un espace vectoriel à deux dimensions et n’importe quel cerveau normalement constitué capte immédiatement s’il existe un lien entre les deux variables, selon que le nuage a une forme définie ou qu’il ressemble à une tempête de neige.
Mais si l'on ajoute d’autres variables quantitatives, par exemple un montant de loyer ou un remboursement d’emprunt immobilier, plus une date de naissance convertie en âge, plus on ne sait quoi, il devient impossible de distinguer des sous-groupes parmi nos \(n\) individus. La multiplication des dimensions rend le représentation impossible et les relations entre les individus sont masquées par la complexité des données.
L'ACP poursuit ainsi plusieurs objectifs complémentaires :
- simplifier la description d'un ensemble d'individus,
- mettre en évidence les principales structures des données,
- représenter les individus dans un espace de faible dimension, généralement un plan, afin de faciliter leur visualisation,
- identifier d'éventuels groupes d'individus ou des individus atypiques.
Soulignons que l'ACP est une méthode descriptive. Elle ne cherche ni à expliquer une variable par les autres, ni à établir des relations de causalité, mais de fournir une représentation synthétique des données pour faciliter leur compréhension.
Principes d'élaboration
L'ACP part d'un tableau de données comportant des individus en lignes et des variables quantitatives en colonnes.
Avant toute analyse, les variables sont généralement centrées, et le plus souvent réduites lorsque leurs unités ou leurs dispersions sont différentes. Cette étape garantit que toutes les variables contribuent de manière comparable à l'analyse.
Le principe fondamental consiste ensuite à construire de nouveaux axes de représentation. Contrairement aux variables initiales, ils ne sont pas choisis a priori mais calculés de façon à résumer au mieux leur variabilité.
Ainsi, le premier axe est construit de manière à représenter la plus grande part possible de la dispersion des individus. Sa direction axe épouse le plus fort allongement du nuage. En d'autres termes, il est placé de façon à absorber un maximum d'inertie.
Une fois ce premier axe déterminé, un deuxième est recherché. Il doit satisfaire deux conditions essentielles :
- être orthogonal au premier, c'est-à-dire apporter une information indépendante de celle déjà résumée,
- expliquer la plus grande part possible de la variabilité restante.
Le procédé est répété jusqu'à obtenir autant d'axes qu'il existe de variables initiales. Chaque nouvel axe explique une part de variabilité plus faible que le précédent mais en pratique, seules les premières composantes principales sont conservées. Elles expliquent généralement une proportion importante de la variabilité totale et offrent une représentation beaucoup plus simple que les données initiales. Graphiquement, les axes sont représentés deux à deux pour que les proximités entre points-individus soient visibles.
Illustrons. Soit des individus définis par trois variables, c'est-à-dire que le nuage qui les représente se trouve dans un espace à trois dimensions. Supposons aussi que celui-ci prenne la forme d'un cylindre aplati. Le premier axe traverse ce volume ainsi :
Il reste alors à expliquer la dispersion de points regroupés en ellipse (donc en deux dimensions). Un premier axe la traverse dans son sens le plus allongé (ci-dessous en rouge). Il subsiste une seule dimension : celle de l'axe jaune ci-dessous.
L'ACP réalise ainsi un compromis entre deux objectifs parfois contradictoires : réduire le nombre de dimensions tout en limitant la perte d'information.
Par ailleurs, précisons que les individus sont généralement pondérés de façon identique mais une ACP peut tout à fait prendre en compte des unités statistiques dont les poids diffèrent. À titre d'exemple, si ce sont des régions, il peut être judicieux de les pondérer par leur population (à voir selon la problématique de l'étude). Une pondération nulle est affectée aux individus illustratifs.
Différence avec l'ACP sur variables
Dans le cadre d'autres problématiques, une ACP peut être réalisée sur les variables. Elle ne se construit pas de la même façon. Nous ne parlerons pas de toutes les différences de construction mais juste d'un détail.
Ici, l’origine se situe sur le centre de gravité et non sur l’origine de l’espace initial, contrairement à l'ACP sur les variables. De plus, les coordonnées des individus ne sont pas standardisées. Il n'y a donc aucune raison de présenter les plans factoriels dans des cercles de corrélations comme on le fait dans le cadre d'une ACP sur variables.
Interprétation
L'interprétation de l'ACP s'appuie beaucoup sur la visualisation. Les individus sont représentés par leurs projections sur les premières composantes principales. Ainsi, deux individus proches sur le plan factoriel ont des profils similaires sur l'ensemble des variables étudiées.
Gardez à l'esprit que cette représentation est une approximation. Les distances observées sur le plan ne reproduisent que partiellement les distances réelles dans l'espace de départ, puisque celui-ci comporte davantage de dimensions.
Le plan factoriel permet notamment de mettre en évidence :
- des groupes d'individus présentant des caractéristiques proches,
- des gradients traduisant une évolution progressive des profils,
- des individus isolés ou atypiques.
Au-delà de l'intérêt graphique, l'ACP fournit bien sûr des informations chiffrées sur la significativité des axes factoriels. D'ailleurs, lorsque les effectifs étudiés sont trop importants pour être visualisés graphiquement, il sera tout de même possible d’interpréter ces nouvelles dimensions abstraites. Cette étape n'a rien de technique. Elle ne nécessite que la brillante intelligence de l'analyste.
Techniques combinées
Du moment que l’on trouve une signification à un axe et que l’on dispose des composantes principales, ces coordonnées peuvent intégrer un jeu de données en tant que variable synthétiquement qualifiante sur un sujet particulier. Ces coordonnées peuvent aussi devenir les variables explicatives d’une régression multiple.
L’ACP sur individus peut constituer l’étape préalable à une classification en permettant de détecter les outliers et de les retirer. Elle peut aussi entériner les résultats de la classification : on retient alors un échantillon test (une quantité visualisable, bien-sûr, pas des millions de clients !) incluant la variable « classe » à valider, celle-ci servant seulement à colorer les points du nuage en fonction de leur classe. On examine ensuite le nuageen fonction des premiers plans principaux et l'on s’assure que les couleurs sont bien séparées.
Généralement, les logiciels intègrent dans un même état de sortie l’analyse sur les individus et l’analyse sur les variables. Pour un exemple d'interprétation, voir les résultats d’une ACP sur les individus.
