Sous-espaces vectoriels et systèmes liés de \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\)
Pour une page théorique, c’est une page théorique… Elle illustre par de petits exercices quelques richesses de la notion d’espace vectoriel, qui va bien au-delà de celle de plan dans lequel s'ébattent joyeusement des flèches. En effet, les fonctions dans R² sont elles-mêmes considérées comme faisant partie d’un espace vectoriel (que, pour des raisons pratiques, on notera \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}\)). Les exercices ci-dessous concernent plus particulièrement les notions de sous-espace vectoriel et de système libre ou lié. Le niveau d'étude auquel se situe cette page est bac + 1.
Exercice 1
Montrer que le sous-ensemble des fonctions impaires forme un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).\)
Indications de corrigé : rappelons qu’une fonction est impaire si pour tout \(x\) \(f(-x) = -f(x).\) Le sous-ensemble contient le vecteur nul puisque \(f(-0) = -f(0) = 0.\) L’addition, loi de composition interne, est vérifiée puisque la somme de fonctions impaires est une fonction impaire :
\((f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) \) \(= -f(x) - g(x) = -[ f(x) + g(x) ]\) \(= -(f+g)(x)\)
Enfin, le produit d’une fonction impaire par un réel permet d’obtenir une fonction impaire.
\((af)(-x) = af(-x) = -af(x)\)
Le sous-ensemble des fonctions impaires forme bien un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).\)
Exercice 2
Le sous-ensemble des fonctions constantes forme-t-il un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) ?
Indications de corrigé : il faut distinguer si le réel duquel la fonction prend la valeur est nul ou non. S’il ne l’est pas, la fonction nulle est exclue et les fonctions ne forment pas un sous-espace vectoriel. Le sous-ensemble n’est stable ni pour l’addition ni pour la multiplication par un scalaire. C’est assez évident en prenant un contre-exemple : soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 5.\) On a \(f(1) + f(2) = 10\) alors que \(f(1+2) = 5.\) Par ailleurs, \(2f(1) = 10\) tandis que \(f(2×1) = 5.\)
En revanche, le sous-ensemble défini par \(f(x) = 0\) forme bien un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).\)
Exercice 3
Soit un système de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x\) et \(g(x) = x + 2.\) Est-il libre ou lié sur \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) ?
Indications de corrigé : il est évident qu’il n’y a pas de proportionnalité et donc que le système est libre. Prouvons-le tout de même.
Supposons \(af + bg = 0.\) Donc, quel que soit \(x\), \(ax + b(x + 2) = 0.\)
Choisissons pour \(x\) deux valeurs possibles, par exemple 1 et 2. On obtient :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 3b = 0}\\ {2a + 4b = 0} \end{array}} \right.\)
La résolution de ce système d’équations n’admet pas d’autre solution que \(a = b = 0.\)
Exercice 3bis
Ajoutons la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = 2 x + 4.\) Le système de trois fonctions est-il toujours libre ?
Non, puisque \(h(x) = 2g(x).\)
Exercice 4
Soit trois fonctions de l’espace \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) : \(f(x) = 2 x^2\), \(g(x) = 3x + 2\) et \(h(x) = x^2 - 6x - 4.\)
Forment-elles un système libre ou lié ?
Proposition de corrigé : on devine assez facilement l’existence d’une liaison mais faisons comme si…
Soit trois réels \(a\), \(b\) et \(c.\) Le système est libre si, pour tout \(x\), on a \(af + bg + ch = 0.\) On pose donc :
\(2ax^2 + 3bx + 2b + cx^2 - 6 cx - 4c = 0\)
\((2a + c)x^2 + (3b - 6c)x + 2b - 4c = 0\)
L’équation doit se vérifier quel que soit \(x\) et notamment s’il est nul. Ainsi, \(2b - 4c = 0.\) On voit aussi l’égalité se vérifier lorsque \(2a + c = 0\) et \(3b - 6c = 0.\) Par conséquent :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b - 4c = 0}\\ {2a + c = 0}\\ {3b - 6c = 0} \end{array}} \right.\)
Nul besoin de recourir au pivot de Gauss pour s’apercevoir que la troisième équation vérifie la même proportionnalité que la première. Ceci nous ramène donc à un système de deux équations à trois inconnues. Il n’y a pas de solutions uniques et il existe nécessairement une LIAISON entre deux d’entre elles (on exprime un réel en fonction d’un autre, voir page système avec paramètre). Le système est lié.
Exercice 5
Soit trois fonctions de l’espace \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) : \(f(x) = \ln (x)\), \(g(x) = \ln (x^2)\) et \(h(x) = \ln(x^4).\)
Forment-elles un espace libre ou lié ?
Proposition de corrigé : si l’on utilise les propriétés des logarithmes, on peut réécrire les fonctions ainsi :
\(f(x) = \ln(x)\), \(g(x) = 2\ln(x)\) et \(h(x) = 4\ln(x)\)
Une combinaison linéaire apparaît alors clairement : \(2f + g = h.\) Le système est lié.
Exercice 6
Soit trois fonctions de l’espace \(\mathscr{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) : \(f(x) = {\sin ^2}x\), \(g(x) = {\cos ^2}x\) et \(h(x) = 2.\) Forment-elles un espace libre ou lié ?
Proposition de corrigé : on connaît la formule trigonométrique \({\sin ^2} + {\cos ^2} = 1.\) Donc là encore le système est lié puisque \(f + g - 0,5h = 0\) quel que soit \(x.\)
