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(et fondements mathématiques)

Une introduction aux nombres complexes

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Forme algébrique des nombres complexes

Si vous ne possédez pas de bac scientifique ou si vous n’avez pas étudié les mathématiques au cours d’études supérieures, vous ignorez peut être qu’il existe des nombres complexes et imaginaires. Quoique, si les chiffres ne sont pas votre tasse de thé, vous devez penser que c’est l’ensemble des mathématiques qui est complexe et qui se situe dans un monde imaginaire !

Certains problèmes concrets ne peuvent être résolus par de « vrais » nombres. Démunies, les mathématiques qui reposaient sur les réels font un pas de plus dans l'abstraction et ouvrent un monde dans lequel existent des nombres imaginaires, en l'occurrence celui des complexes et des opérations qu’ils permettent. Évidemment, ces nombres n'apparaissent que dans les étapes INTERMÉDIAIRES de résolution d'un problème de mathématiques appliquées...

L'ensemble

L'ensemble numérique des nombres complexes est noté ainsi :

C

Tout nombre réel est aussi un complexe. Donc l'ensemble des réels est inclus dans celui des complexes.

Le nombre i

Le nombre magique qui enfante les nombres complexes, du moins ceux qui ne sont pas réels, est sobrement appelé i. Il est égal à la racine carrée de -1 (rappelons au passage que sur l’ensemble des réels une racine carrée ne peut pas être négative). Donc, i² = -1.

Il s'ensuit la règle suivante, pour tout p étant un entier naturel...

i4p = 1, i4p+1 = i, i4p+2 = -1 et i4p+3 = -i.

Autre propriété, 1 / i = -i.

En effet...

démo

Ce fameux i, multiplié à un réel, transforme celui-ci en imaginaire pur, élément de l’ensemble I. Donc, R ∩ I = Ø.

Et que font ces réels et ces imaginaires, cette matière et cette antimatière ? Ils s’associent ! Et pour donner quoi ? Des nombres complexes, composés d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Donc, C = R ∪ I.

La forme algébrique

Un complexe s’écrit alors sous la forme z = x + iy. Cette écriture est dite « algébrique » ou cartésienne. Tout complexe s'écrit d'une façon unique.

Par exemple, 4 + 2i (ou 4 + i2) est un nombre complexe.

La partie réelle, c’est-à-dire x, est notée Re (z) et la partie imaginaire y est notée Im (z). Deux complexes sont égaux à la double condition que leurs parties réelle et imaginaire soient les mêmes.

Il s'ensuit que si z est un réel, alors Im (z) = 0 et si z est un imaginaire pur, alors Re (z) = 0. Autre conséquence, un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Remarque : il n'existe pas de relation d'ordre > ou < dans l'ensemble des complexes, pas davantage que de nombres positifs ou négatifs...

Un calcul introductif

Soit le nombre complexe z = x + 1 + i(-i + x)+ 3i (avec x ∈ R)

Pour quelle valeur de x est-il un imaginaire pur ?

Simplifions l'écriture de z en n'oubliant pas que × (-i) = 1

x + 1 + 1 + ix + 3i.

Écrivons-la sous forme algébrique.

z = + 2 + i(x + 3)

Ainsi, pour que z soit un imaginaire pur, il faut que x + 2 soit nul. Donc x = -2.

Par ailleurs, pour que z soit un réel, x + 3 doit être nul, donc x = -3.

Exercices de réécritures

Voir la page réécritures de complexes pour des réécritures algébriques. Pour passer de la forme algébrique à la trigonométrique, voir la page réécriture de complexes sous forme trigonométrique.

Des équations dans C

1- Résolvons l'équation suivante :

2z + 5= 7i + 4 + z

Aucune difficulté. Il est évident que nous isolons z et non i.

z = 4 + 2i, d'où S = {4 + 2i}.

2- Équation suivante, SVP...

iz + 3 = i

La multiplication de i par z offre une légère difficulté. Nous avons le choix sur la façon de commencer. Une possibilité est de diviser les deux membres par i.

z + (3 / i) = 1

Utilisons alors la propriété selon laquelle l'inverse de i est son opposé.

z – 3i = 1

⇔ z = 1 + 3i

L'autre possibilité est de commencer par isoler z. La même propriété doit être utilisée.

Les équations du second degré font l'objet de la page équations de degré 2 dans C.

Opérations avec les complexes

Les règles de calculs dans R s'appliquent dans C. Voir la page opérations avec complexes sous leur forme algébrique.

Représentation graphique

Ces nombres peuvent être représentés dans un plan complexe (ou d'Argand). Toujours très terre-à-terre, l’axe horizontal est celui de la partie réelle tandis que l’axe vertical s’élève dans l’imaginaire.

 

imaginaires

 

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