Forme algébrique des nombres complexes
Si vous ne possédez pas de bac scientifique ou si vous n’avez pas étudié les mathématiques au cours d’études supérieures, vous ignorez peut être qu’il existe des nombres complexes et imaginaires. Quoique, si les chiffres ne sont pas votre tasse de thé, vous devez penser que c’est l’ensemble des mathématiques qui est complexe et qui se situe dans un monde imaginaire !
Un peu d'histoire
L'Italie de la Renaissance fut le théâtre d'un foisonnement artistique mais aussi scientifique.
Cherchant à résoudre des équations du troisième degré, le mathématicien Raffaele Bombelli comprit que certains problèmes concrets ne pouvaient être résolus par de « vrais » nombres (entendez par-là des nombres réels). Il fallait passer par des nombres qui n'existent pas pour trouver des solutions bien réelles à des problèmes concrets. Ce sont eux que l'on nomme nombres complexes.
L'ensemble
L'ensemble numérique des nombres complexes est noté \(\mathbb{C}.\)
Tout nombre réel est aussi un complexe. Donc l'ensemble des réels est inclus dans celui des complexes.
Le nombre \(i\)
Le nombre magique qui enfante les nombres complexes, du moins ceux qui ne sont pas réels, a été sobrement baptisé \(i`\) par Leonhard Euler au dix-huitième siècle. Il est égal à la racine carrée de -1 (rappelons au passage que sur l’ensemble des réels une racine carrée ne peut pas être négative). Donc, \(i^2 = -1.\)
Il s'ensuit la règle suivante, pour tout \(p\) étant un entier naturel...
\(i^{4p} = 1,\) \(i^{4p+1} = i,\) \(i^{4p+2} = -1\) et \(i^{4p+3} = -i.\)
Autre propriété, \(\frac{1}{i} = -i.\)
En effet, \(\frac{1}{i}\) \(=\) \(\frac{1 \times i}{i \times i}\) \(=\) \(\frac{i}{-1}\) \(=\) \(-i\)
Ce fameux \(i,\) multiplié à un réel, transforme celui-ci en imaginaire pur.
Et que font ces réels et ces imaginaires, cette matière et cette antimatière ? Ils s’associent ! Et pour donner quoi ? Des nombres complexes, composés d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.
La forme algébrique
Un complexe s’écrit alors sous la forme \(z = x + iy.\) Cette écriture est dite « algébrique » ou cartésienne. Tout complexe s'écrit d'une façon algébrique unique.
Par exemple, \(4 + 2i\) (ou \(4 + i2\)) est un nombre complexe.
La partie réelle, c’est-à-dire \(x,\) est notée \(Re(z)\) et la partie imaginaire \(y\) est notée \(Im(z).\) Deux complexes sont égaux à la double condition que leurs parties réelle et imaginaire soient les mêmes.
Il s'ensuit que si \(z\) est un réel, alors \(Im(z) = 0\) et si \(z\) est un imaginaire pur, alors \(Re(z) = 0.\) Autre conséquence, un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
Remarque : il n'existe pas de relation d'ordre \(<\) ou \(>\) dans l'ensemble des complexes, pas davantage que de nombres positifs ou négatifs...
Un calcul introductif
Soit le nombre complexe \(z\) \(=\) \(x + 1 + i(-i + x) + 3i\) (avec \(x \in \mathbb{R}\))
Pour quelle valeur de \(x\) est-il un imaginaire pur ?
Simplifions l'écriture de \(z\) en n'oubliant pas que \(i × (-i) = 1\)
\(z\) \(=\) \(x + 1 + 1 + ix + 3i\)
Écrivons-la sous forme algébrique.
\(z = x + 2 + i(x + 3)\)
Ainsi, pour que \(z\) soit un imaginaire pur, il faut que \(x + 2\) soit nul. Donc \(x = -2.\)
Par ailleurs, pour que \(z\) soit un réel, \(x + 3\) doit être nul, donc \(x = -3.\)
Exercices de réécritures
Voir les réécritures de complexes pour des réécritures algébriques, ainsi que les réécritures avec calculatrices. Pour passer de la forme algébrique à la trigonométrique, voir la réécriture de complexes sous forme trigonométrique (vu un peu plus tard dans le programme de terminale maths expertes)
Des équations dans \(\mathbb{C}\)
1- Résolvons l'équation suivante :
\(2z + 5i = 7i + 4 + z\)
Aucune difficulté. Il est évident que nous isolons \(z\) et non \(i.\)
\(z = 4 + 2i,\) d'où \(S = \{4 + 2i\}.\)
2- Équation suivante, SVP...
\(iz + 3 = i\)
La multiplication de \(i\) par \(z\) offre une légère difficulté. Nous avons le choix sur la façon de commencer. Une possibilité est de diviser les deux membres par \(i.\)
\(z + \frac{3}{i} = 1\)
Utilisons alors la propriété selon laquelle l'inverse de \(i\) est son opposé.
\(z - 3i = 1\)
\(⇔ z = 1 + 3i\)
L'autre possibilité est de commencer par isoler \(z.\) La même propriété doit être utilisée.
Les équations du second degré font l'objet de la page d'équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\).
Opérations avec les complexes
Les règles de calculs dans \(\mathbb{R}\) s'appliquent dans \(\mathbb{C}.\) Voir les opérations avec complexes sous leur forme algébrique.
Représentation graphique
Ces nombres peuvent être représentés dans un plan complexe (ou d'Argand). Toujours très terre-à-terre, l’axe horizontal est celui de la partie réelle tandis que l’axe vertical s’élève dans l’imaginaire.
