Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les séries numériques

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Introduction aux séries numériques réelles

Vous savez sans doute ce qu’est une suite. Alors qu’on réserve le terme de fonction numérique pour des réels, la suite numérique n’est définie que pour des entiers naturels. Ces suites s'offrent à nous sous divers aspects : par une formule explicite, par relation de récurrence, par une sommation... Cette dernière forme, assez particulière, prend le nom de SÉRIE…

Ainsi, une série apparaît comme la suite de sommes partielles des termes d’une suite. Une mise en abyme qu’on peut résumer ainsi : S0 = u0, puis S1 = u0 + u1, puis S2 = u0 + u1 + u2 et ainsi de suite.

LA grande question qu’on se pose lorsqu’on étudie une série est de savoir si elle converge ou si elle diverge (sur les suites en général, petite remémorisation en page limites de suites).

Une série est convergente si :

série convergente

Soit S la somme infinie des un. La différence entre Sn et S est appelée le reste. Si celui-ci devient de plus en plus minuscule au fur et à mesure que n s'accroît, c'est bien sûr que la série converge. Et donc la suite aussi. NB : à l'infini, le terme général d'une série convergente doit tendre vers zéro mais cette condition ne suffit pas.

Si la série ne converge pas, il est inutile de chercher à calculer la somme des n premiers termes. un, c'est-à-dire Sn – Sn-1, ne tend pas vers zéro dans la course de n à l'infini et il faut alors accepter la sinistre vérité : notre série diverge...

Les séries géométriques

Soit la série suivante :

exemple

Et soit un petit rafraîchissement de mémoire :

somme suite géométrique

Sn est-elle convergente ? On se doute que oui puisque c’est la somme d’une suite convergente. Mais voyons vers quelle valeur. En appliquant l’expression de la somme d’une suite géométrique ci-dessus rappelée, on peut écrire…

développement

On voit dès lors que la série converge vers 4.

En d’autres termes, 1 + (3 4) + (9 16) + (27 64) + (81 / 256) + … est presque égal à 4. Une vérification sur tableur ne vous prendra que quelques secondes.

Au-delà de cet exemple, une série de ce type qn est dite géométrique et converge toujours vers [1 / (1 – q)] lorsque |q| < 1.

L’expression de sa dérivée est la suivante :

dérivée

Elle converge si |q| < 1, en l’occurrence vers 1 / (1 – q)². Idem pour la dérivée kème :

dérivée kième

La série harmonique

Reprenons aussi l'exemple que bon nombre d'ouvrages exposent en début de chapitre sur les séries.

série harmonique

Y a-t-il convergence ? Ici, l'idée n'est pas d'utiliser le reste mais n et 2n. À l'infini, ça ne change pas grand chose puisque si cette différence tend vers zéro, c'est bien que la série converge... Oui mais voilà, elle ne tend pas vers zéro.

La différence entre Sn et S2n n'est autre que la somme des inverses depuis n + 1 jusqu'à 2n. Donc...

suite de la série...

C'est une addition de n termes dont le plus petit est 1 / 2n. Donc, cette addition est supérieure à n × (1 / 2n), ou tout simplement... 0,5.

NB : cette série sert également d'exercice en page inégalité de la moyenne.

Les séries exponentielles

série exponentielle

Elles convergent toujours vers ex.

Les séries des premiers carrés, cubes... : voir page sommes de premiers entiers.

Les séries de Riemann

série de Riemann

… et u0 = 0. Une série de Riemann converge si alpha est strictement supérieur à 1.

Les séries à termes positifs : une série Sun est dite « à termes positifs » si, quel que soit n, un > 0.

Opérations algébriques sur séries convergentes

À l’instar des suites, si deux séries convergent, leur somme converge également, d’où :

somme de séries convergentes

Une série convergente ne change pas ses habitudes lorsqu’elle est multipliée par un nombre réel non nul (scalaire) :

série convergente x scalaire

Cette malheureuse page étant anormalement envahie de formules, nous en resterons là.

 

hors-série

 

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