Les limites de suites

Convergence et divergence des suites

Amis des suites, bonjour. Cette page traite de leurs limites (en d’autres termes, nous nous intéressons à l’éventuelle convergence des suites). La présentation est plutôt destinée aux étudiants, alors que la page sur les représentations graphiques de limites est plutôt dans l’esprit du secondaire. Ces deux approches se complètent plus qu’elles ne s’opposent alors même si vous êtes lycéen(ne), ne vous privez pas d’une saine lecture…

 

Définitions

Soit la limite d’une suite \((u_n)\) est finie, soit elle est infinie, soit elle n’existe pas.

Premier cas, elle est finie. Sa limite est le réel \(m.\) Pour tout réel \(\varepsilon > 0,\) il existe un entier naturel \(N\) tel que si \(n \ge N,\) alors \(\left| {{u_n} - m} \right| \le \varepsilon. \)

\(\forall \varepsilon > 0\;\;\exists N \in \mathbb{N}\;\;\forall n \in \mathbb{N}\) \((n \ge N \Rightarrow \left| {{u_n} - m} \right| \le \varepsilon )\)

Autrement dit, il existe un réel \(m\) tel que tout intervalle centré en \(m\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Dans ce cas, la suite est convergente (et donc bornée).

Lorsqu’on souhaite savoir si une suite monotone converge, on cherche un majorant ou un minorant et on applique le théorème de la limite monotone selon lequel toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) est convergente.

La limite d’une suite est unique.

Propriété : \(\lim ({u_n} - m) = 0\)

(note : nous ne précisons pas que la limite est en \(+ \infty\) car, pour les suites, cela va de soi).

Deuxième cas, les termes de la suite tendent vers l’infini.

\(\lim ({u_n}) = + \infty \) si \(\forall A > 0\;\;\exists N \in \mathbb{N}\;\;\forall n \in \mathbb{N}\) \((n \ge N \Rightarrow {u_n} \ge A ).\)

\(\lim ({u_n}) = - \infty \) si \(\forall A > 0\;\;\exists N \in \mathbb{N}\;\;\forall n \in \mathbb{N}\) \((n \ge N \Rightarrow {u_n} \le -A ).\)

Troisième cas, il n'y a pas de limite.

Par exemple, tous les termes de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \cos (n)\) sont compris entre -1 et 1 mais cette suite, bien que bornée, n’admet pas de limite.

Dans ces deux derniers cas, la suite est divergente. En effet, par définition une suite qui ne converge pas est divergente. Des illustrations figurent en page d’initiation aux limites de suites avec Excel.

La suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\)  si et seulement si \((-u_n)\) diverge vers \(-\infty.\)

 

Opérations

Voir la page traitant des opérations sur les limites de suites. Nous en reprenons certaines ci-dessous.

Avec limite finie

Soit \(m\),  \(m'\) et \(\lambda\) des réels.

Si \(\lim(u_n) = m\), alors \(\lim(\lambda u_n) = \lambda m\)
Si \(\lim(u_n) = m\) et \(lim(v_n) = m'\), alors \(\lim(u_n + v_n) = m + m'\)
Si \(\lim(u_n) = m\) et \(\lim(v_n) = m'\), alors \(\lim(u_n \times v_n) = m \times m'\)
Si \(\lim(u_n) = m \ne 0\), alors \(\lim \frac{1}{u_n} = \frac{1}{m}.\)

Avec limite infinie

Soit \(\lim(u_n) = +\infty\), alors \(\lim \left( {\frac{1}{{{u_n}}}} \right) = 0\)

Soit \((v_n)\) une suite minorée, alors \(\lim(u_n + v_n) = +\infty\)

Si \((u_n)\) est minorée par un réel positif \(\lim(u_n \times v_n)= +\infty\)

Parfois la forme est « indéterminée », c’est-à-dire que la limite ne peut être déterminée directement et qu’il faut modifier l’expression de la suite pour lever cette indétermination (voir les exemples de la page sur les opérations sur limites de suites).

 

Suites particulières

Aucune difficulté pour connaître la limite d’une suite arithmétique : \(- \infty\) si la raison est strictement négative, \(+ \infty\) si elle est strictement positive. La suite est constante si la raison est nulle (seul cas où une suite arithmétique converge).

Quant aux suites géométriques, voir la page sur les limites de suites géométriques. Si la raison est comprise entre 0 et 1, la suite converge.

La limite de la suite \((u_n)\) telle que \({u_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\) est \(e\) (base du logarithme népérien).

Soit une suite \((u_n)\) de réels non nuls. Il existe un réel \(m\) tel que l’on ait à partir d’un certain rang :

\[\left| {\frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}} \right| < m < 1\]

Dans ce cas, \(\lim(u_n) = 0\)

On en déduit que si \(\lim(\frac{u_{n+1}}{u_n}) = 0,\) alors \(\lim(u_n) = 0\)

Ainsi il est parfois judicieux de passer par le rapport de \(u_{n+1}\) par \(u_n\) pour connaître la limite de \(u_n.\)

Réciproquement si \(\left| {\frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}} \right| > m > 1\) alors \((u_n)\) diverge.

 

Suites adjacentes et encadrement

Deux suites adjacentes convergent vers la même limite, conséquence immédiate de la définition des suites adjacentes : \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante et \(\lim(u_n - v_n) = 0.\)

Les théorèmes d’encadrement et de comparaison permettent eux aussi de déterminer des limites (quelques exemples en page de propriétés des limites de suites).

Comparaison : si par exemple la limite de la suite \((u_n)\) est \(+\infty\) et que, pour tout \(n\), \(v_n > u_n,\) alors \(\lim(v_n) = +\infty.\) De même, si l’on sait qu’à partir d’un certain rang \(u_n < v_n\) (les deux suites étant convergentes), alors on sait que \(\lim(u_n) < \lim(v_n).\)

Encadrement : soit trois suites \((u_n),\) \((v_n)\) et \((w_n).\) Si à partir d’un certain rang on vérifie \(u_n \le v_n \le w_n\) et si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers la même limite, alors \((v_n)\) converge aussi vers celle-ci.

Si deux suites convergentes ne diffèrent que par un nombre fini de termes, alors elles ont la même limite.