Une introduction au comportement des suites

Sens de variation des suites

Vous êtes en première générale et vous venez de faire connaissance avec les suites. Pour bien mesurer la chance que vous avez, voici comment utiliser de nouvelles techniques…

 

Le sens de variation d’une suite

Une suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \geqslant u_n\) pour tout entier naturel \(n.\) Vous l’aviez deviné, elle est décroissante si \(u_{n+1} \geqslant u_n.\)

On dit que \((u_n)\) est STRICTEMENT croissante ou décroissante si l’inégalité est stricte.

Enfin, une suite est stationnaire lorsque tous ses termes sont les mêmes.

Lorsqu’une suite est soit croissante, soit décroissante, elle est dite monotone (comme toute fonction). Parfois, cette monotonie ne se vérifie qu’à partir d’un certain rang (voir les exercices sur suites non monotones).

 

Détermination du sens de variation

On peut conjecturer du sens de variation d’une suite grâce à sa représentation graphique. Mais ce ne sera qu'une conjecture, pas une preuve. Le calcul des premiers termes ne prouve rien non plus. Vous devez démontrer le sens de variation de façon plus abstraite, avec des termes généraux.

Pour cette première approche, nous retiendrons deux techniques. Elles s’appuient sur la comparaison entre deux termes consécutifs quelconques de la suite à étudier.

  • Première technique, la soustraction : si, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\) on a \(u_{n + 1} - u_n \geqslant 0\) alors la suite est croissante. Si l’on vérifie \(u_{n + 1} - u_n \leqslant0\) elle est décroissante.

  • Seconde technique, la division (seulement si les termes de la suite sont strictement positifs) : on calcule le quotient \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}.\) Si celui-ci est supérieur à 1, la suite est croissante. S’il est inférieur à 1 elle est décroissante (et s’il est égal à 1 elle est constante).

Quelle technique choisir ? En général, l’énoncé le précise. La première est souvent la plus simple mais faites-vous plutôt une idée avec les exemples ci-dessous…

 

Exemple 1

Soit la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = 2n^2 + n + 1.\)

Essayons d’abord la soustraction.

Pour cela, trouvons une expression de \(u_{n + 1}.\)

\(u_{n + 1} = 2(n + 1)^2 + (n + 1) + 1\)
\(⇔ u_{n + 1} = 2(n^2 + 2n + 1) + n + 2\)
\(⇔ u_{n + 1} = 2n^2 +5n + 4\)

Donc…

\(u_{n + 1} - u_n = 2n^2 + 5n + 4 - (2n^2 + n + 1)\)
\(⇔ u_{n + 1} - u_n = 4n + 3\)

Or, \(n ≥ 0\) donc \(4n + 3 ≥ 0\). La suite \((u_n)\) est croissante.

Essayons à présent la division puisque les termes sont tous positifs (l’expression de la suite est une somme de trois termes positifs).

\(\frac{u_{n + 1}}{u_n} = \frac{2n^2 + 5n + 4}{2n^2 + n + 1}.\)

Or, comme \(n\) est positif, \(5n + 4\) est plus grand que \(n + 1\). En d’autres termes, le numérateur est plus grand que le dénominateur. Donc le quotient est supérieur à 1. Nous avons encore démontré que la suite était croissante.

Dans les deux cas, vous remarquerez qu’il n’est pas nécessaire de poursuivre de fastidieux calculs dès l'instant où une évidence nous permet de conclure.

 

Exemple 2

Soit la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = \frac{2n}{n + 1}.\)

Là encore, nous allons tester les deux techniques.

Préalablement, déterminons \(v_{n + 1}\) dont l’expression nous sera utile pour les deux techniques.

\(v_{n + 1} = \frac{2(n + 1)}{n + 2} = \frac{2n + 2}{n + 2}\)

Soustraction :

\(v_{n + 1} - v_n = \frac{2n + 2}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1}\)
\(⇔ v_{n + 1} - v_n = \frac{(2n + 2)(n + 1) - 2n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}\)
\(⇔ v_{n + 1} - v_n = \frac{2n^2+2n+2n+2-2n^2-4n}{(n + 1)(n + 2)}\)
\(⇔ v_{n + 1} - v_n = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)}\)

Il n’est pas nécessaire de poursuivre. Le numérateur est positif et le dénominateur est le produit de deux facteurs positifs. Par conséquent, \( v_{n + 1} - v_n > 0.\) La suite \((v_n)\) est croissante.

Division :

L’expression de la suite nous indique que ses termes sont positifs.

\[\frac{v_{n + 1}}{v_n} = \frac{\frac{2n + 2}{n + 2}}{\frac{2n}{n + 1}}\]

Donc \(\frac{v_{n + 1}}{v_n} = \frac{(2n + 2)(n + 1)}{2n(n + 2)}\)

\(⇔ \frac{v_{n + 1}}{v_n} = \frac{2n^2 + 4n +2}{2n^2 + 4n}\)

Il est évident que le numérateur est supérieur au dénominateur puisque c’est le même nombre majoré de 2. Donc le quotient est supérieur à 1 et nous concluons avec une grande satisfaction que \((v_n)\) est croissante.

 

Exemple 3

Soit la suite \((w_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(w_{n+1} = w_n + n\) avec \(w_0 > 0.\)

Il est évident que cette suite est croissante mais supposons que vous deviez le démontrer avec l’une des deux techniques que nous avons décrites.

Soustraction :

Il suffit de passer \(w_n\) dans le premier membre.

\(w_{n + 1} - w_n = n.\) Comme \(n ≥ 0\) la suite est croissante.

Division :

\(\frac{w_{n + 1}}{w_n} = \frac{w_n + n}{w_n}\).

Là encore, \(n ≥ 0\) donc \(w_n + n \geqslant w_n\) donc \(\frac{w_{n + 1}}{w_n} \geqslant 1\) et nous concluons que \((w_n)\) est croissante.

Vous trouverez des exercices plus difficiles en page d’exercices sur le comportement de suites.