Suites définies par \(u_{n+1} = au_n + b\)
Niveau de cette page : terminale générale.
Voici un type de suite assez intéressant, notamment en finance. Par exemple vous placez chaque année une même somme d’argent à un taux composé donné ; vos économies suivent une progression à la fois additive, ou arithmétique (puisque vous ajoutez une somme supplémentaire) et multiplicative, ou géométrique (en raison du taux d’intérêt). Le montant de votre pactole est associé à une suite arithmético-géométrique.
Le principe
Celle-ci se définit comme une relation de récurrence affine entre un terme et le terme suivant de la suite. Soit \(u_{n+1} = au_n + b,\) \(\forall n \in \mathbb{N}\) Évidemment, \(a\) est différent de 1 (la suite serait arithmétique) et \(b\) est différent de zéro (elle serait géométrique).
L'intérêt de l'étude d'une telle suite est surtout d'en connaître la limite.
Lorsque \(a\) est compris entre -1 et 1, la limite de la suite est solution de l’équation \(x = ax + b,\) c’est-à-dire \(\frac{b}{1- a}.\) S’il est supérieur à 1, la suite diverge à l’infini. S’il est inférieur ou égal à -1, elle diverge aussi (mais il s’agit d'un cas peu intéressant en maths appliquées).
L'étude est donc fort simple mais au lycée, il est habituel de rajouter des étapes en utilisant une suite auxiliaire GÉOMÉTRIQUE (on peut aussi passer par une série géométrique mais ce n'est pas au programme du secondaire).
La procédure classique est détaillée avec l'exemple de suite arithmético-géométrique, extrait d'une épreuve de l'ancien bac ES.
Deux autres exercices figurent ci-dessous. Le premier montre un calcul direct, sans passer par la suite géométrique, ainsi que des techniques empiriques de recherche de limite : détermination graphique et utilisation d'un tableur. Le second ne vise pas à connaître une limite (elle est infinie) ; il utilise une suite géométrique.
Exercice 1
Depuis l’année qu’on nommera 0, une entreprise de téléphonie mobile constate un taux de churn, c’est-à-dire de déperdition de sa clientèle, de \(16\%.\) Dans le même temps, elle arrive à capter 100 000 nouveaux abonnés par an. Pour simplifier, prenons 0 comme année de départ. Sachant qu’en l'an 0, le nombre de clients était de 400 000, à quel nombre stable ceux-ci devraient-ils s’établir ?
Note : cette situation fait l'objet d'autres questions en page de boucles avec calculatrice Casio.
Exercice 2
Détaillons maintenant une application telle qu'évoquée en introduction. Un épargnant ouvre un compte avec 5 000 € au début de la première année, rémunéré au taux de \(4\%\) (intérêts composés versés en fin d’année). Puis il dépose 1 000 € chaque fin d’année. Soit \(u_n\) la somme disponible à la fin de la énième année. Déterminer la relation de récurrence et la formule explicite.
Corrigé 1
Étudions la suite \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 400\,000\) définie par la relation de récurrence \(u_{n+1} = 0,84u_n + 100\,000,\) \(\forall n \in \mathbb{N}.\)
Le coefficient \(a\) est inférieur à 1 puisque c'est 0,84. Appliquons la formule de la limite : \(\frac{100\,000}{1 - 0,84}.\) Soit 625 000 clients. La suite est croissante mais si par exemple les clients avaient été 900 000 en l'an 0, la suite aurait été décroissante. Et si \(u_0\) avait été égal à 625 000, la suite aurait été constante.
On pourrait le vérifier avec Excel en descendant la formule de calcul sur des centaines de lignes. Le début de la liste se présenterait ainsi :
Une autre vérification est graphique : il faut alors pointer sur le lieu où la droite représentative de la suite croise la première bissectrice, indiquant où \(u_n = u_{n+1}.\) Le croisement n'est pas indiqué ci-dessous car le graphe est trop petit pour être précis ; le but est juste de vous présenter le principe.
Il faudra pas mal d’années à notre entreprise pour atteindre sa vitesse de croisière… On s’en serait douté, le coefficient de 0,84 étant assez proche de 1.
Corrigé 2
La relation récurrente s’écrit \(u_{n+1} = 1,04u_n + 1\,000.\)
La formule explicite nécessite le secours d’une suite géométrique \(v_n\) que l'on trouve, en terminale, grâce aux indications de l'énoncé mais il existe une astuce pour la déterminer rapidement : on ajoute à \(u_n\) le nombre \(c = \frac{b}{1 - a}.\) En l'occurrence, \(\frac{1\,000}{0,04} = 25\,000.\) Donc \(v_n = u_n + 25\,000.\)
Comme \(v_{n+1}\) \(= 1,04u_n + 1\,000 + 25\,000\) \(= 1,04u_n + 26\,000\) \(= 1,04(u_n + 25\,000)\) \(= 1,04v_n\) la suite \((v_n)\) est géométrique de raison 1,04. Le premier terme \(v_0\) est égal à 30 000 (c’est-à-dire \(u_0 = 5\,000 + 25\,000\)).
Pour conclure, \(v_n = 30\,000 \times 1,04^n\) et \(u_n = 30\,000 \times 1,04^n - 25\,000.\) Nous avons découvert la formule qui permet de déterminer \(u_n\) sans avoir à calculer tous les termes précédents.
Question subsidiaire : démontrer le résultat par récurrence (solution en page de récurrence).
Exemple supplémentaire
Voir la page sur les suites et probabilités.
