Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les suites arithmético-géométriques

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Suites définies par un+1aun + b

Niveau de cette page : terminale ES ou terminale S.

Voici un type de suite assez intéressant, notamment en finance. Par exemple vous placez chaque année une même somme d’argent à un taux composé donné ; vos économies suivent une progression à la fois additive, ou arithmétique (puisque vous ajoutez une somme supplémentaire) et multiplicative, ou géométrique (en raison du taux d’intérêt). Le montant de votre pactole est associé à une suite arithmético-géométrique.

Celle-ci se définit comme une relation de récurrence affine entre un terme et le terme suivant de la suite. Soit un+1 = aun + b, ∀ n ∈ N. Évidemment, a est différent de 1 (la suite serait arithmétique) et b est différent de zéro (elle serait géométrique).

L'intérêt de l'étude d'une telle suite est surtout d'en connaître la limite.

Lorsque a est compris entre -1 et 1, la limite de la suite est solution de l’équation x = ax + b, c’est-à-dire b / (1 – a). S’il est supérieur à 1, la suite diverge à l’infini. S’il est inférieur ou égal à -1, elle diverge aussi (mais il s’agit d'un cas peu intéressant en maths appliquées).

L'étude est donc fort simple mais au lycée, il est habituel de rajouter des étapes en utilisant une suite auxiliaire GÉOMÉTRIQUE (on peut aussi passer par une série géométrique mais ce n'est pas au programme du secondaire).

La procédure classique est détaillée page exemple de suite arithmético-géométrique, extrait d'une épreuve du bac ES (aussi éligible au programme de terminale S).

Deux autres exercices figurent ci-dessous. Le premier montre un calcul direct, sans passer par la suite géométrique, ainsi que des techniques empiriques de recherche de limite : détermination graphique et utilisation d'un tableur. Le second ne vise pas à connaître une limite (elle est infinie) ; il utilise une suite géométrique.

Exercice 1

Depuis l’année qu’on nommera 0, une entreprise de téléphonie mobile constate un taux de churn, c’est-à-dire de déperdition de sa clientèle, de 16 %. Dans le même temps, elle arrive à capter 100 000 nouveaux abonnés par an. Pour simplifier, prenons 0 comme année de départ. Sachant qu’en l'an 0, le nombre de clients était de 400 000, à quel nombre stable ceux-ci devraient-ils s’établir ?

Note : cette situation fait l'objet d'autres questions en page boucles avec calculatrice Casio.

Exercice 2

Détaillons maintenant une application telle qu'évoquée en introduction. Un épargnant ouvre un compte avec 5 000 € au début de la première année, rémunéré au taux de 4 % (intérêts composés versés en fin d’année). Puis il dépose 1 000 € chaque fin d’année. Soit un la somme disponible à la fin de la énième année. Déterminer la relation de récurrence et la formule explicite.

Corrigé 1

Étudions la suite (un) de premier terme u0 = 400 000 définie par la relation de récurrence un+1 = 0,84 un + 100 000, ∀ n ∈ N.

Le coefficient a est inférieur à 1 puisque c'est 0,84. Appliquons la formule de la limite : 100 000 / (1 – 0,84). Soit 625 000 clients. La suite est croissante mais si par exemple les clients avaient été 900 000 en l'an 0, la suite aurait été décroissante. Et si u0 avait été égal à 625 000, la suite aurait été constante.

On pourrait le vérifier sur Excel en descendant la formule de calcul sur des centaines de lignes. Le début de la liste se présenterait ainsi :

premiers termes

Une autre vérification est graphique : il faut alors pointer sur le lieu où la droite représentative de la suite croise la première bissectrice, indiquant où un = un+1. Le croisement n'est pas indiqué ci-dessous car le graphe est trop petit pour être précis ; le but est juste de vous présenter le principe.

diagramme

Il faudra pas mal d’années à notre entreprise pour atteindre sa vitesse de croisière… On s’en serait douté, le coefficient de 0,84 étant assez proche de 1.

Corrigé 2

La relation récurrente s’écrit un+1 = 1,04 un + 1 000.

La formule explicite nécessite le secours d’une suite géométrique vn que l'on trouve, en terminale ES, grâce aux indications de l'énoncé mais il existe une astuce pour la déterminer rapidement : on ajoute à un le nombre cb / (1 – a). En l'occurrence, 1 000 0,04 = 25 000. Donc vn = un + 25 000.

vn+1 = 1,04 un + 1 000 + 25 000 = 1,04 un + 26 000 = 1,04(un + 25 000) = 1,04 vn. La suite (vn) est géométrique de raison 1,04. Le premier terme v0 est égal à 30 000 (c’est-à-dire u0 = 5 000 auquel on ajoute 25 000).

Pour conclure, vn = 30 000 × 1,04n et un = 30 000 × 1,04n – 25 000. Nous avons découvert la formule qui permet de déterminer un sans avoir à calculer tous les termes précédents.

Question subsidiaire (terminale S) : démontrer le résultat par récurrence (solution en page récurrence).

Exemple supplémentaire

Voir la page suites et probabilités.

 

suite

 

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