Initiation aux suites arithmétiques
Cette page s’adresse par exemple aux élèves des premières technologiques qui, selon le programme de l’Éducation nationale, doivent découvrir les suites arithmétiques selon plusieurs approches.
Problématique
Une association sportive accueille des enfants. La première année, que l’on appellera 0, elle débute avec cinquante inscriptions. Ensuite, chaque année, elle enregistre trois inscriptions supplémentaires. On désignera par \(n\) n’importe quelle année. \(n\) prend donc une valeur entière (0, 1, 2, 3, etc.). Évidemment, il n'y a rien avant la création de l’association (\(n \geqslant 0\)). Par conséquent, on raisonne mathématiquement sur l’ensemble des entiers naturels.
Le nombre d’enfants inscrits dépend donc de l’année. C’est une fonction de l’année. Mais nous l’avons vu, cette fonction est particulière parce qu’elle est définie sur \(\mathbb{N}.\) Elle prend alors le nom de suite.
Contrairement aux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\), souvent nommées \(f,\) le nom des suites s’écrit entre parenthèses. Par exemple \((u_n),\) \(n\) étant le numéro de l’année. En revanche, pour indiquer le terme de rang \(n\) d’une suite, on ne met pas les parenthèses (c’est un peu subtil mais on s’y fait). Par conséquent, \(u_n =...\) Notez que le programme de l'Éducation nationale impose aux premières technologiques une écriture \(u(n)\) pour faire le lien avec \(f(x)\) mais cette notation n'est pas du tout homologuée et il faudra ensuite l'oublier...
Revenons à notre exemple. Nous avons \(u_0 = 50\) puis \(u_1 = 53\) puis \(u_2 = 56\) et ainsi de « suite ».
La suite qui nous occupe est particulièrement simple puisqu’elle consiste à ajouter chaque fois le même nombre lorsqu’on passe de \(n\) à \(n + 1.\) Ce type de suite est appelé arithmétique (on pourrait aussi soustraire le même nombre chaque fois que l’on passe de \(n\) à \(n + 1,\) ce serait aussi une suite arithmétique).
Ce même terme que l’on ajoute chaque fois est appelé la raison. Ici, c’est 3. Si la raison est positive, la suite est croissante (comme dans notre exemple où le nombre d’enfants s’accroît d’année en année). Si elle est négative, la suite est décroissante.
Avec tableur
Il est très facile de connaître les valeurs prises par \((u_n)\) avec Excel.
La capture d’écran ci-dessus montre deux choses : la formule à entrer (=B2+3) qu’il suffit de cliquer-glisser vers le bas et le résultat obtenu. Par exemple, neuf ans après sa création, l’association compte 77 enfants inscrits.
Excel permet de représenter cette suite. Il faut sélectionner la plage de valeurs et insérer un nuage de points.
On remarque que tous les points sont alignés. Ils se situent sur une droite (non représentée) qui monte. Si la suite était décroissante, les points seraient au contraire de plus en plus bas au fur et à mesure que \(n\) augmente.
Expression
Une suite arithmétique a une expression algébrique. Celle-ci comporte la variable \(n.\) Dans notre exemple, il s’agit de \(u_n = 50 + 3n.\)
On le vérifie très bien sur les valeurs du tableau Excel ci-dessus. Pour l’année 0, on a \(u_0 = 50 + 3 × 0 = 50.\) Pour l’année 1, on a \(u_1 = 50 + 3 × 1 = 53.\) Pour \(n = 2,\) \(u_2 = 50 + 3 × 2 = 56.\) Etc. Pour chaque valeur de \(n\) connue, on a donc \(u_n\) égal à un nombre qui dépend de \(n.\)
Récurrence
On peut écrire la relation qui lie le terme d’une suite avec son terme précédent grâce à une relation de « récurrence », ce qui est impossible avec une fonction définie sur \(\mathbb{R}.\) Ici, \(u_{n + 1} = u_n + 3\) (attention, \(n + 1\) est le \(n\) + unième terme, écrit en indice, et il ne faut surtout pas écrire \(u_n + 1 = u_n + 3\)). Donc, pour n’importe quelle valeur de \(n,\) nous avons \(u_{n + 1} - u_n = 3.\) Tout ceci doit vous paraître parfaitement logique et évident, non ?
Cette relation vous permettra d’ailleurs de savoir si une suite n’est pas arithmétique. Prenons par exemple une suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = n^2.\) On a donc \(v_0 = 0,\) puis \(v_1 = 1\) puis \(v_2 = 4\) puis \(v_3 = 9…\)
Si l’on calcule \(v_1 - v_0\) on trouve 1. Mais si l'on calcule \(v_2 - v_1\) on trouve \(4 - 1 = 3.\) Horreur, ce n’est pas le même nombre ! On conclut que cette suite n’est pas arithmétique. Attention, si l’on trouvait le même nombre, cela ne prouverait pas que la suite est arithmétique (mais c’est une autre histoire).
Calculatrices
Le tableur est un excellent outil pour déterminer les différents termes d’une suite (arithmétique ou autre), mais il n'est pas le seul. Il existe aussi des logiciels de maths et les calculatrices utilisées au lycée.
Pour connaître les premiers termes d'une suite arithmétique avec une calculatrice, voir la page suites arithmétiques avec calculatrices.
Exercice
Il fait 15° dans une chambre froide avant que l’on actionne le système de réfrigération. Une fois celui-ci mis en route, la température baisse de 1,4° chaque minute. En vous aidant d’un tableur, déterminer la température après chaque minute jusqu’à un quart d’heure de refroidissement.
Corrigé
Soit \((u_n)\) la suite qui permet la modélisation du problème.
Après un quart d’heure la température sera de -6,0°.
